Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m2var14

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

652.64 Кб

Скачать

☆

Вариант № 14

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.

∫	x + arctg	x	dx = ∫	x		dx + ∫	arctg x	dx =	подведение под	=
∫	2		dx = ∫		2	dx + ∫	2	dx =	подведение под	=
	1+ x			1+ x			1+ x		знак дифференциала

+ ∫arctg x d(arctg x) = 1 ln(1+ x2 ) + 1 arctg2 x + C .

′

Проверка:

ln(1+ x

) +

arctg

x + C

2arctg x

+ x2

Ответ: ∫	x + arctg	x	dx =	1	ln(1+ x2 ) +	1	arctg2 x + C .
	2
	1+ x	2			2

2. ∫x ln xdx. Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .

1	∫	d 1+ x2 )	+
2		2
		1+ x

1	=	x + arctg x	.
1+ x2		1+ x2

ln x = u,

du =

∫x ln xdx =

∫

ln x −

2ln x −1) + C . Проверка:

xdx = dv,

v =

′

2ln x −1) + C

2ln x −1) +

= xln x.

Ответ: ∫xln xdx =

2ln x −1) + C .

∫

3x + 5

dx =

∫

−1+ 23/3

dx =

∫

2x2 − x

)

dx +

∫

x 2x −

2x2 − x

(x2

− x / 2 +1/16) −1/16

−

(x −

) + (x −

)2 −

+ C =

2x2 − x

−

4x −1) + 4x −1)2 −1

+ C .

x 2x −1)

′

Проверка:

x 2x −

1) −

4x −1) +

4x −1)2 −1

+ C

2 4x −1) 4

4 +

4x −1

2 4x −1)2 −

4x −1

2 2 2x2 − x 4 2 4x −1) + 4x −1)2 −1 2 2 2x2 − x 4 2 2 4x −1)2 −1

12x − 3

12x

− 3 + 23

4 2x2 − x 4 2 2 16x2 − 8x +1−1 4 2x2 − x

8 2x2 − x

4 2x2 − x

3x + 5

∫

3x + 5

. Ответ:

dx =

x 2x −1) −

4x −1) +

4x −1)2

−1

+ C .

x 2x −1)

x 2x −

4 2

+16x + 2

4. ∫

x − 5x

dx . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть

− 6x + 9)(x +1)

на

простые

дроби.

∫

x3 − 5x2 +16x + 2

dx = ∫[1+

13x − 7

]dx = ∫[1+

13x − 7

]dx

− 6x

+ 9)(x +1)

− 6x + 9)(x +1)

(x − 3)

(x +1)

13x − 7

A(x − 3)2 + B(x − 3)(x +1) + C(x +1)

(x − 3)2 (x +1)

(x − 3)2

(x +1)

1 x −

3 (x − 3)2

A(x − 3)2 + B(x − 3)(x +1) + C(x +1) = 13x − 7 . Полагаем x = −1, получим A = − 5 . Из

равенства x = 3 следует C = 8. Приравнивая коэффициенты при

x2 , получим A + B = 0 .

. Таким образом, ∫

−

+16x + 2

dx = ∫[1−

Или B =

]dx =

x − 3

(x − 3)

− 6x + 9)(x +1)

x +1

= x −

x +1

x − 3

−

+ C = x +

x − 3

−

+ C .

− 3

′

x +1

−

Проверка: x +

−

+ C

1−

x +1

x − 3

4 x +1 4 x − 3

(x −

4(x − 3)2 (x

+1) − 5(x − 3)2

+ 5(x

− 3)(x +1) + 32(x +1)

4(x − 3)2 (x +

4x3 − 20x2

+12x + 36 − 5x2 + 30x − 45 + 5x2 −10x −15 + 32x + 32

x3 − 5x2

+16x + 2

4(x − 3)2 (x +1)

(x2

− 6x

9)(x +

+16x + 2

x − 3

Ответ: ∫

x − 5x

dx = x +

−

+ C .

x +1

− 3

− 6x + 9)(x +1)

∫

4x2

+10x

+10

dx . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем.

x(x

+ 2x

∫

4x2

+10x +10

dx = ∫

4x2

+10x +

dx.

x(x

+ 2x +

x((x +

4x2 +10x +10

+ C

A(x2 + 2x + 5) + (Bx + C)x

x((x +1)2 + 4)

2x +

x(x2 + 2x +

x x2 +

A(x2

+ 2x + 5) + (Bx + C)x = 4x2

+10x +10 . Полагаем x = 0, получим A = 2.

Приравнивая коэффициенты при

x2 , получим A + B = 4 . Или B = 2 . Приравнивая

коэффициенты при

x , получим 2A + C = 10. Или C = 6 . Таким образом,

∫

4x2

+10x +

dx = ∫

2x +

= 2ln

+ ln(x2

+ 2x +

5) + 2arctg

x +

+ C .

[

]dx

+ 2x +

(x +

x(x

Проверка:

′

x +

2x + 2

2ln

+ ln(x

+ 2x

+ 5) + 2arctg

+ C =

2x +

x x2

+ 2x +

5 1

+ (x + 1)2 / 4 2

2(x2 + 2x + 5) + 2x2 + 2x + 4x

4x2

+10x +10

x(x2 + 2x +

2 + 2x + 5)

x x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5

x(x

Ответ: ∫

4x2

+10x

+10

= 2ln

+ ln(x2

+ 2x + 5) +

2arctg

x +

+ C .

x(x

+ 2x

+ 5)

∫

dx . Делаем замену переменной.

−

x = t6 , dx = 6t5dt

6t5dt

4dt

(t4

−1+1)dt

∫

3 x

dx =

∫

6∫

= 6∫

− t

−1

t −1

3 x2 − x

x = t2

= 6∫(t3 + t2 + t +1+

)dt =

t4 + 2t3 + 3t2 + 6t + 6ln

t −1

+ C =

t −1

3 x2 + 2 x + 33 x + 66 x + 6ln

6 x −1

+ C .

Проверка:

′

3 3

−1/ 3

−1/ 2

−2 / 3

+ 2 x + 3 x +

x + 6ln

−1

+ C

+ 2

+ 3

2 3

(x1/ 2 + x1/ 3

+ x1/ 6

+1)(x1/ 6

−1) +1

x2 / 3

−5/ 6

x−5/ 6 =

+ 6

6 x −1 6

(6 x −1)x5/ 6

3 x2 − x

Ответ: ∫

dx =

3 x2

+ 2

x + 33

x + 66

x + 6ln

x −1

+ C .

−

∫

. Интегрируем с помощью замены переменной.

−1

x = cos

−1

t, dx = cos

−2

t sintdt,

sint cos

∫

tdt

= ∫cos2 tdt =

∫ 1+ cos2t)dt =

−1 = tg

−1

tg t cos

cost) + C =

(arccos

(t +

sin 2t) + C =

(t + sint cost) + C =

(t +

1− cos2 t

x−1 ) + C =

(arccos

−1

) + C .

1−1/ x2

′

2x x2

− 2x x2 −1

−1

) + C

Проверка:

(arccos

[−

(−

) +

] =

1−1/ x

[

x3 − 2x(x2 −1)

]

2 − x2 + x2

2 x x2 −1

x2 −1

2 x3 x2 −1 x3 x2 −1

Ответ: ∫

(arccos

−1

) + C .

−1

∫sin2 xcos5 xdx . Интегрируем после предварительных преобразований.

∫sin2 xcos5 xdx = ∫sin2 x 1− sin2

x)2 d sin x = ∫[sin2 x − 2sin4 x + sin6

x]d sin x =

= ∫[sin2

x − 2sin4

x + sin6

x]d sin x =

sin3 x

− 2

sin5 x

sin7 x

+ C .

Проверка:

sin3 x

sin5 x

sin7

′

− 2

+ C

= sin2 xcos x − 2sin4

xcos x + sin6 xcos x = sin2

xcos x 1− 2sin2 x + sin

= sin2 xcos x 1− 2sin2 x + sin4

x) = sin2 xcos x 1− sin2 x)2

= sin2

xcos5 x .

Ответ: ∫sin2 xcos5 xdx =

sin3 x

− 2

sin5 x

sin7 x

+ C .

∫

1+ tg x

dx . Интегрируем после преобразований.

sin 2x

∫

1+ tg x

dx = ∫

+ ∫

tg x

dx = ∫

+ ∫

sin x

dx =

tg x

tg x + C .

sin 2x

2sin xcos

sin 2x

Проверка:

′

1+ tg x)cos x

+ tg x

tg x

tg x + C

[

] =

2 tg x cos2

cos2 x

2cos2

sin x

sin 2x

Ответ: ∫

1+ tg x

dx =

tg x

tg x + C .

sin 2x

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.

∞

x = u, dx = du,

10. ∫xsin xdx = lim

∫xsin xdx =

= lim[−xcos x

1a + ∫cos xdx] =

a→∞

sin xdx = dv, v = −cos x

a→∞

= lim[−xcos x

+sin x

a ] = lim[−acosa + cos1+ sin a − sin1]. Предел не имеет смысла,

a→∞

интеграл расходится.

∞

Интеграл сходится. Ответ: ∫xsin xdx . Интеграл расходится.

2−ε

5−δ

11. ∫

= lim

∫

+ lim

∫

−

7x +10

(x − 7 / 2)

−

9/ 4

(x − 7 / 2)

ε →0

δ →0

− 9/ 4

2+δ

x − 7 / 2 −

3/ 2

2−ε

x − 7 / 2 − 3/ 2

5−δ

+ lim

∫

[limln

+ limln

(x − 7 / 2)

− 9/ 4

x − 7 / 2 +

x − 7 / 2 + 3/ 2

α →0

5+α

3 ε →0

3/ 2

δ →0

+δ

2−ε

5−δ

x − 7 / 2 − 3/ 2

] =

[limln

x − 5

+ limln

x − 5

+ limln

x − 5

+ limln

] =

x − 2

α →0

x − 7 / 2 +

3/ 2

5+α

3 ε →0

δ →0

− 2

2+δ

α →0

5+α

[limln

ε + 3

− ln 2 + limln

− limln

δ − 3

+ ln

− limln

] = ∞ − ∞ − ∞ + ∞ .

3− δ

+ 3

3 ε →0

δ →0

4 α →0

Бесконечно большие величины могут быть разного порядка в зависимости от соотношения скорости стремления к нулю бесконечно малых величин α, δ , ε . Поэтому интеграл расходится.

6			dx
Ответ: ∫			dx
				. Интеграл расходится.
		2		. Интеграл расходится.
3	x		− 7x +10
3

Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

= x

2 + 5x − 2 = f

(x)

. Найдём точки пересечения

12.

= 4x = f2 (x)

линий: x2

+ 5x − 2 = 4x x2 + x − 2 = 0 x = 1, x

= −2 .

Тогда

S = ∫[ f2 (x) − f1 (x)]dx = ∫[4x − (x2 + 5x − 2)]dx =

−2

= ∫[2 − x −x2 ]dx = [2x −

−

]

−2

8
4
0
4
8	1	0	1	2
2	1	0	1	2

= 2 −	1	−	1	+ 4 + 2 −	`8	= 4	1	. Ответ: S = 4	1	.

2		3		3		2		2

13.x , y = 9, (y ≥ 9) . Найдём точки пересечения линий:y = 6 1− cost)= 6(t − sint)

6 1− cost) = 9 cost = −

2π

, t

4π

. Тогда

4π / 3

S = ∫[y(t) − 9]dx(t) = 18

∫[2 1− cost) − 3](1− cost)dt = −18 ∫ 1+ 2cost) 1− cost)dt =

2π / 3

4π / 3

24ππ //

4π / 3

2π

= −18 ∫ 1+ cost − 2cos2 t)dt = −18(t + sint)

+18 ∫ 1+ cos2t)dt = −18(

−

3) +

2π / 3

4π / 3

2π

−

) = 27

+18(t +

sin 2t)

= −18(

−

3) +18(

3 . Ответ: S = 27 3 .

2π / 3

ρ = 5/ϕ

(гиперболическая спираль).

14. Вычислите длину дуги кривой (L):

5/12 ≤ ϕ ≤ 12 /5

u =

ϕdϕ

ϕ2

ϕ 2 +1, du =

ϕ 2 +1

12 / 5

ϕ 2 +1

L = ∫ ρ 2 + ρ′2 dϕ = ∫ 25/ϕ 2 + 25/ϕ 4 dϕ = 5 ∫

dϕ =

ϕ1

dϕ

5 /12

5/12

ϕ 2 = dv, v = −

12 / 5

ϕ 2 +1

12 / 5

dϕ

513

12 / 5

= −

+ 5 ∫

= −

+ 5ln(ϕ +

ϕ 2 +1)

+ 5ln

5/12

Ответ: L = 91 + 5ln10 . 12 3

y = xex ,

15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S) вокруг оси OX.y = 0, x = 1

x2	1	x2		= u, du = 2xdx,				= π		1	1

V = π ∫ y2dx = π ∫x2e2xdx =			2x	dx = dv, v =	1		2x		x2e2x		− π ∫xe2xdx =
x1	0	e				e		2		0	0
					2

	x = u, du = dx,						= π e2 − π (	x		1		1	1	π e2 − π e2

=				1					e2x		−		∫e2x dx) =
		2x	dx = dv, v =			2x
	e				e		2	2		0	2		0	2	2
				2

Ответ: V = 1 π (e2 −1). 4

y 16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L)

(циклоида) вокруг оси OY.

+	1	π e2x	1	=	1	π (e2	−1).


	4		0		4

=6(t − sin t), 0 ≤ t ≤ π

=6 1− cost)

P = 2π ∫x(t) x′2

+ y′2 dt = 2π ∫6 1− cost) 36sin2 t + 36 1− cost)2 dt =

π / 2

= 72π ∫ 1− cost)

2 1− sint)

dt = 288π ∫cos2

cos

dt = 576π

∫ 1− sin2

) d sin

= 576π (sin t − 1 sin3 t ) π

= 576π 1− 1) = 384π . Ответ: P = 384π . 3

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.

arccos x

17. ∫

adx . По справочнику находим:

arccos x

+ 1 ln a +

− x

∫

adx = − 1 arccos x

+ C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и

другие математические формулы.)

arccos x

Ответ: ∫

adx = − 1 arccos x + 1 ln a +

− x

+ C .

∞ sin2 ax

dx =

18. ∫

dx. По справочнику находим: ∫

a .

∞ sin2 ax

Ответ: ∫

dx =

a .

19. Напряжение на клеммах цепи V=120 в. В цепь равномерно вводится

сопротивление со скоростью 0.1 Ом/с. Кроме того в цепь включено постоянное

сопротивление r =10 Ом. Сколько кулонов электричества пройдёт через цепь в течение

двух минут.

В момент времени t = 0 сопротивление цепи равно r

0) = 10 . В момент времени t

сопротивление цепи будет r(t) = 10 + 0.1t . Тогда в момент времени t ток составит

величину J(t) = V

. Следовательно количество электричества за две минуты

r(t)

0.1t

составит величину

120

dt = V 1 ln(10 + 0.1t)

120

= 10V[ln 22 − ln10] = 1200 ln11 ≈ 946 кулонов.

q = ∫

10 + 0.1t

0.1

Ответ: q ≈ 946 кулонов.

20. Котёл имеет форму параболоида с радиусом R при глубине котла H. Он наполнен

жидкостью с удельным весом γ. Вычислите работу, необходимую для выкачивания

жидкости из котла.

Уравнение параболы, образующей параболоид

вращения: y = αx2 . Из условия H = αR2

находим

α =

y =

Hx2

R2 Объём элементарного слоя

жидкости на уровне y будет равен

dV = πx2dy = π R2 y dy . Если плотность жидкости

равна γ, то вес элементарного слояжидкости будет

dP = πγ R2 y dy . Работа, необходимая для поднятия этого слоя на высоту H-y, равна

dA = πγ R2 y (H − y)dy . Следовательно,

2 H

A = ∫πγ

(H − y)dy = πγ

∫ y(H − y)dy = πγ

−

]

= πγ

[

−

] =

πγR2 H

πγR2 H 2

. Ответ: A =

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2015653.93 Кб16m2var05.pdf
#
27.03.2015652.3 Кб12m2var06.pdf
#
27.03.2015659.11 Кб11m2var08.pdf
#
27.03.2015654.59 Кб7m2var09.pdf
#
27.03.2015655.06 Кб10m2var13.pdf
#
27.03.2015652.64 Кб13m2var14.pdf
#
27.03.2015652.32 Кб11m2var15.pdf
#
27.03.2015653.75 Кб14m2var16.pdf
#
27.03.2015650.31 Кб11m2var17.pdf
#
27.03.2015659.79 Кб37m2var18.pdf
#
27.03.2015275.71 Кб27m3var12.pdf