Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m2var08

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

659 Кб

Скачать

☆

Вариант № 8

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.

sin xdx

подведение под

−

∫

= −

∫(3 + 2cos x) 3 d(3+ 2cos x) =

3+ 2cos x

знак дифференциала

+ С = −

= −

(3+ 2cos x)3

(3 + 2cos x)2

+ С .

′

−

sin x

Проверка:

−

(3 + 2cos x)3

= −

(3 + 2cos x) 3 2(−sin x)− =

+ 2cos x

sin xdx

Ответ:

= −

(3+ 2cos x)2 + С .

3 3 + 2cos x

∫x ln2 xdx . Интегрируем дважды по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .

ln2 x = u,

du = 2ln x

ln x = u,

du =

∫x ln2 xdx =

ln2 x − ∫xln xdx =

xdx = dv,

v =

xdx = dv,

v =

ln2 x −

ln x +

∫x2

ln2 x −

ln x +

+ C =

(2ln2 x − 2ln x +1) + C .

′

Проверка:

(2ln2 x

− 2ln x +1) + C

(2ln2 x − 2ln x +1) +

(4ln x −

= xln2

x .

Ответ: ∫xln2 xdx =

(2ln2 x − 2ln x +1) + C .

∫

2x − 5

dx =

∫

2x +1− 6

dx =∫

d(1− x − x2

)

dx − 6∫

1− x − x2

5/ 4 − (x2 + x +1/ 4)

− 6∫

− 6arcsin

x +

1/ 2

+ C =

= −2 1− x − x2

= − 2

1− x − x2

5/ 4 − (x +1/ 2)2

5 / 2

− 6arcsin

+ C .

= −2 1− x − x2

′

2x +1

Проверка: − 2

1− x − x2 − 6arcsin

+ C =

= −2

− 2x −1

− 6

2x +1

−

2x − 5

1− x − x

2 1− x − x

1−

(2x +1)

1− x − x

5 − 4x − 4x −1

Ответ: ∫

2x − 5

− 6arcsin

+ C .

dx = −2

1− x − x2

∫

2x4 + 8x3 + x2 + x − 20

dx . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную

(x + 5)

часть на простые дроби. ∫

2x4

+ 8x3 + x2 + x − 20

∫[2 +

− 2x3 + x

2 + x − 20

dx =

]dx .

+ 5)

(x + 5)

− 2x3 + x2 + x − 20

Ax2 (x + 5) + Bx(x + 5)

+ C(x + 5)

+ Dx3

x3 (x +

x + 5

x3 (x + 5)

x x2

Ax2 (x + 5) + Bx(x + 5) + C(x + 5) + Dx3

= −2x3 + x2 + x − 20 . Полагаем

x = 0,

получим

C = −4. Из

равенства x = −5

следует

D = −2. Приравнивая

коэффициенты

при x3 ,

получим A + D = −2 . Или A = 0. Приравнивая коэффициенты при

x2 , получим A + B = 1.

Или

B = 1.

Таким

образом,

∫

2x4

+ 8x3 + x2 + x − 20

dx = ∫[2 +

−

]dx = 2x −

− 2ln

x + 5

+ C

(x + 5)

x + 5

Проверка:

′

2x4 +10x3

+ x2 + 5x − 4x − 20

− 2x3

2x −

− 2ln

+ 5

+ C = 2 +

−

x x2

x + 5

(x + 5)

=2x4 + 8x3 + x2 + x − 20 . x3 (x + 5)

Ответ: ∫

2x4

+ 8x3 + x2 + x − 20

dx = 2x −

− 2ln

x + 5

+ C .

+ 5)

5. ∫

. Вычисляем интеграл с помощью разложения на простые дроби.

+ x

+ 2x +

∫

= ∫

Bx + C

+ x

+ 2x

+ 2

+ 2)(x

x +1

+ 2

+ 2)(x +1)

A(x2

+ 2) + (Bx + C)(x +1)

A(x2 + 2) + (Bx + C)(x +1) = 1. Полагая x = −1, получим

(x2 +

2)(x +1)

A = 1/3 . Приравняем коэффициенты при x2 : A + B = 0 B = −1/ 3. Приравняем

коэффициенты при x : B + C = 0 C = 1/ 3. Следовательно,

∫

[

−

−1

]dx =

−

ln(x2

+ 2) +

arctg

+ C =

+ x

+ 2x

3(x +1) 3 x

+ 2

3 2

x +1

arctg

+ C .

x2 + 2

Проверка:

′

x +1

x2 + 2 − (x +1)

+ 2

x + 2

arctg

+ C

x +1

+ 2

x + 2

3 2

x2 + 2 − x2 − x

x +1

(x +1)(x2

3 2

(x +1)(x2

+ 2)

+1)(x2

+ 2)

Ответ: ∫

x +1

arctg

+ C .

+ x

+ 2x +

x2 + 2

2 3

3 2

6. ∫ x + 4xx3 dx . Интегрируем с помощью замены переменной.

∫

x = t4 , dx = 4t3dt

= ∫

4t3dt

= 4∫

t2dt

= 4∫

[t −1+

]dt

+ 4 x3

+ t

= 4(

− t + ln

t +1) + C = 2t2 − 4t + 4ln

t +1

+ C = 2 x − 4 4 x + 4ln

4 x +1

+ C .

Проверка:

+ C)′ =

− 4 4

+ 4ln

− 4

x−3/ 4 + 4

x−3/ 4 =

(1+ 4 x)x3

/ 4

− x

(1+ 4 x) + x

+ 4 x 4

x(1+ 4 x)x3/ 4

x3/ 4 + x − x − x3/ 4 + x

x(1+ 4 x)x3/ 4

4 x3 + x

Ответ: ∫

dx = 2 x − 4 4

x + 4ln

4 x +1

+ C .

x + 4

7. ∫

. Интегрируем с помощью замены переменной.

4 − x2

∫

= −∫

tdt

∫

d(4t2 −1)

t =

, dt = −

= −

x2 4 − x2

4 −1/t2

4t2 −1

4 − x2

= −

4t2

−

1 + C = −

4/ x2 −

1 + C = −

+ C .

′

−

2x x

− 4 − x2

4 − x

Проверка:

−

+ C

= −

4 − x

Ответ: ∫

= −

4 − x2

+ C .

4 − x2

8. ∫cos4xcos7xdx . Интегрируем после предварительных преобразований.

∫cos4xcos7xdx =

∫[cos3x + cos11x]dx =

sin 3x +

sin11x + C

− ∫sin2 x dx = tg x − x −

∫(1− cos2x) dx =tg x −

x +

sin 2x + C .

Проверка:

′

− 3

+ 3

sin 3x +

sin11x

+ C

cos3x +

cos11x =

2cos

x cos

x = cos4xcos7x

Ответ: ∫cos4xcos7xdx =

sin 3x +

sin11x + C .

9. ∫ 4sin x + 3cos x +1. Интегрируем с помощью замены переменной.

t = tg

dx =

2dt

∫

1+ t2

= ∫

2dt

4sin x + 3cos x +1

sin x =

1− t

3(1− t

)

, cos x

+1 (1

+ t2 )

1+ t

+ t

1+ t

2∫

=2∫

=∫

+ 3− 3t

+1+ t

4 − 2t

+ 2

− t

6 − (t

−

6 − (t −

4t + 4)

tg(x / 2) − 2 +

t − 2 +

+ C =

+ C .

t − 2 − 6

tg(x / 2) − 2 − 6

2 6

Проверка:

′

tg(x / 2) − 2 + 6

+ C

[

−

]

tg(x / 2) − 2 − 6

6 tg(x / 2) − 2 +

6 tg(x / 2) − 2 −

6 2cos

(x / 2)

2 6

tg(x/ 2) − 2 − 6 − tg(x / 2) + 2 − 6

2 6

(tg(x / 2) − 2)2

− 6

2cos2 (x / 2)

6 − (tg2 (x / 2) − 4tg(x / 2) + 4)2

2cos2 (x / 2)

4cos2 (x / 2) − 2sin2 (x/ 2) + 8sin(x / 2)cos(x / 2)

2cos x + (1+ cos x) + 4sin x

4sin x + 3cos x +1

tg(x / 2) − 2 +

Ответ: ∫

+ C .

4sin x

+ 3cos x +

tg(x / 2) − 2 −

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.

∞

10.

∫

= lim

∫

dx =

lim

lim arctg x4

a→∞

a→−∞ ∫

)

a→−∞

∞

Интеграл сходится.

Ответ: ∫

dx =

. Интеграл сходится.

=1 (π − π ) = π .

4 2 4 16

x−1/ 3dx =

limx2 / 3

11.

= lim

. Интеграл сходится.

∫3

α →0

∫ 3

α →0

∫

α →0

Ответ: ∫

. Интеграл сходится.

Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

= −x2 + x + 3 = f

(x)

12.

Найдём точки пересечения

= −x = f2 (x)

линий:

− x2 + x + 3 = −x x2 − 2x − 3 = 0 x = −1, x

= 3.

Тогда

S = ∫[ f1 (x) − f2 (x)]dx = ∫[−x2 + x + 3 + x]dx =

−1

`32

= ∫[3+ 2x −x2 ]dx = [3x + x2 −

]

= 9 + 9 − 9 + 3−1−

= 10

−1

3 3

. Ответ: S = 10 2 . 3

	16
	12
	8
	4
1	0	1	2	3

13. ρ = 6sin3ϕ . Это трёхлепестковая роза и																																																						90
		ρ = 3, ρ ≥ 3																																																120					6			60
																																																		120								60
окружность. Найдём точки пересечения линий:																																																150							4							30
6sin3ϕ =										3 sin 3ϕ								=	1	3ϕ					= kπ + (−1)										k π								6 sin(3α)												2
6sin3ϕ =										3 sin 3ϕ								=	2	3ϕ					= kπ + (−1)										6													180								0							0
ϕ =							kπ				+ (−1)k					π																											3
																																											3
																		. Вычислим площадь для одного																														210


								3					18																																																330
								3					18
лепестка и утроим её (ϕ0 =																						π			, ϕ1				=			5π
																																	):																	240								300


																																18																						270
																				18												18																								α
								ϕ1																																																α
					1			ϕ1																		3	5π /18
S = 3					1			∫		[ρ 2 (ϕ) − ρ 2 (ϕ)]dϕ =																3				∫	[36sin2 3ϕ − 9]dϕ =
S = 3										[ρ 2 (ϕ) − ρ 2 (ϕ)]dϕ =															2						[36sin2 3ϕ − 9]dϕ =
					2					2								1							2
										2								1
								ϕ	0																			π /18
									0
	27		5π /18																		27		5π /18																	27						1				5π /18										2π
			5π /18																				5π /18																											5π /18							27						3
=					∫[4sin2 3ϕ −1]dϕ =																				∫[2(1− cos6ϕ) −1]dϕ =																[ϕ −						sin 6ϕ]							=			27		[		+		3	] =
=					∫[4sin2 3ϕ −1]dϕ =																				∫[2(1− cos6ϕ) −1]dϕ =																[ϕ −						sin 6ϕ]							=					[		+			] =
2				π /18																2			π /18																2				3							π /18								2 9					3
2				π /18																2			π /18																2				3							π /18								2 9					3

= 3π +						9				3		. Ответ: S = 3π +												9			3			.
= 3π +												. Ответ: S = 3π +																		.
								2																	2
																																			y = ln(x2 −1)
				14. Вычислите длину дуги кривой (L):																																	≤ x ≤						.
																																			2		≤ x ≤		3
		x2												3																					3	x4 − 2x2 +1+ 4x2												3			x2 +1
		x2												3																					3	x4 − 2x2 +1+ 4x2												3			x2 +1
L = ∫							1+ y′2 dx = ∫											1+ [2x /(x2									−1)]2 dx = ∫																					dx = ∫							dx =
L = ∫							1+ y′2 dx = ∫											1+ [2x /(x2									−1)]2 dx = ∫										(x	2		−1)		2						dx = ∫			x		2	−1	dx =
		x											2																						2		(x			−1)								2			x			−1
			1
	3 x2 −1+ 2																			x −		1			3								2			1			1				3					3
	3 x2 −1+ 2																			x −		1			3								2			1			1				3					3
= ∫													dx =(x + ln										)		=				1+ ln					− ln			= 1+ ln(							) = 1				+ ln	.
= ∫				x	2			−		1			dx =(x + ln							x +			)		=				1+ ln				4	− ln		3	= 1+ ln(							) = 1				+ ln	.
2				x				−		1										x +		1			2								4			3			2 1									2
Ответ: L = 1+ ln															3		.
Ответ: L = 1+ ln																	.
													2
																																													y = 2x ,							вокруг оси OX.
				15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S)																																																вокруг оси OX.
																																													y = x +1

Найдём точки пересечения линий:
2x = x +1		x = 0, x			2	= 1.
		1			2										2
															2
	x2					1
V = π ∫(y22 −y12 )dx = π ∫[(x +1)2 − 22x ]dx =
	x1					0
(x +1)3			1			1									1.5
(x +1)3			1	22x ]			= π (	8	−		1	−	2	+	1
= π[		−	ln 2	22x ]			= π (		−			−		+	) =
	3	2	ln 2			0		3 3 ln 2 2ln 2
						0
7	−	3					7	−			3		).		1	0.5	1
= π (	−	).	Ответ: V = π (					−					).		0	0.5	1
3	2ln 2						3			2ln 2

y = 3(1

− cost)

≤ t ≤ 2π

16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L)

, 0

x = 3(t

− sint)

(циклоида) вокруг оси OX.

2π

P = 2π ∫ y(t) x′2

+ y′2 dt = 2π ∫3(1− cost)

9(1− cost)2 + 9sin2 t dt =

2π

= 18π ∫(1− cost)

dt = 18π ∫2sin2

4sin2 (t / 2)

dt = 72π ∫sin3

dt =

2(1− cost)

2π	t		t		t		1		t		2π

= −144π ∫(1− cos2		)d cos		dt = −144π[cos		−		cos3		]

0	2	2		2		3			2		0

= −144π[−1−1+ 1 + 1] = 192π . . 3 3

Ответ: P = 192π .

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей

математике.

17. ∫

cosaxdx

. По справочнику находим:

∫

cosaxdx

= −

1± sin ax

sin ax(1± sin ax)

sin ax

Ответ: ∫

cosaxdx

= −

1± sin ax

. (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие

sin ax(1± sin ax)

sin ax

математические формулы.)

∞

cosax − cosbx

∞

18. ∫

dx . По справочнику находим:

∫

cosax − cosbx

dx = ln

, (a,b > 0)..

∞

− cosbx

Ответ: ∫

cosax

dx = ln

, (a,b > 0).

19. Найдите силу давления воды на вертикальную площадку, огораниченную

эллипсом с осями 2a и 2b, центр которого погружён в

воду на уровень h, причём большая ось 2a эллипса

параллельна уровню жидкости (h≥b).

-a

Уравнение эллипса

= 1, если начало

y a

координат находится в центре эллипса. Площадь

элементарной площадке на уровне y , будет равна

-b

dS = 2xdy =

b2 − y2 dy . Давление на эту

элементарную площадку будет равно dP =

b2 − y2 (h − y)dy . Следовательно,

y = bsint, dy = bcostdt,

π / 2

P = ∫

b2 − y2 (h − y)dy =

b2 ∫cos2 t(h − bsint)dt =

− y

= bcost

−b

−π / 2

π / 2

cos

π / 2

= 2ab[

∫(1+ cos2t)dt + b

= 2ab[

(t +

sin 2t)

+ 0 = abhπ . Ответ: P = abhπ .

−π / 2

20. В цилиндрическом сосуде объёмом V

= 0.1 м3 находится воздух под давлением

P = 1.033 кг/см2, который подвергается сжатию быстрым давлением поршня. Какую

работу нужно совершить, чтобы сжать в сосуде воздух до объёма V = 0.03 м3?

По закону Бойля-Мариотта VP = V P = Const , т.е. P =

V0 P0

. Пусть дно цилиндра

расположено в точке x=0, в точке x=x0 – начальное положение поршня, x – текущее

положение поршня, x1 – конечное положение поршня.. Тогда

= πR2 x

, V = πR2 x,V = πR2 x

. Из этого следует, что dV = πR2dx . В положении

поршня x давление на поршень составит величину πR2

V0 P0

. Таким образом, на участке

(x, x+dx) необходимо совершить работу dA = πR2

V0 P0

dx = πR2

V0 P0

= V

πR2

0 0

Следовательно,

0.1

A =

∫

= V P

∫

= V P lnV

= 0.1 1.033104 ln

= 1033 ln

= 1244

V P

0.03

Ответ: A = 1244 кГм.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2015682 Кб19m1var18.pdf
#
27.03.2015653 Кб17m2var03.pdf
#
27.03.2015663 Кб30m2var04.pdf
#
27.03.2015654 Кб25m2var05.pdf
#
27.03.2015652 Кб17m2var06.pdf
#
27.03.2015659 Кб18m2var08.pdf
#
27.03.2015655 Кб15m2var09.pdf
#
27.03.2015655 Кб13m2var13.pdf
#
27.03.2015653 Кб15m2var14.pdf
#
27.03.2015652 Кб14m2var15.pdf
#
27.03.2015654 Кб17m2var16.pdf