Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m2var04

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

663 Кб

Скачать

☆

Вариант № 4

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить

дифференцированием.

1. ∫	ln3 x + 2	dx =	подведение под	= ∫	ln3 x + 2	d ln x =	ln3 x	+ 2lnln x + C .
					ln x
	xln x		знак дифференциала			3

ln3

′

ln3 x + 2

Проверка:

+ 2ln ln x + C

3ln

2 x

x ln x x

xln x

Ответ: ∫

ln3 x + 2

dx =

ln3 x

+ 2ln ln x + C .

xln x

2. ∫x ln xdx . Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .

			ln x = u,		dx	= du
∫		ln xdx =	ln x = u,		x	= du			=	2	x	3	ln x −	2	∫x	3	dx	=	2	x	3	ln x −	2	∫
												3				3					3
	x					3						2				2					2
	x					3						2				2					2
							2		3				3				x 3					3
				xdx = dv,		v =	2	x2	3				3				x 3					3
				xdx = dv,		v =		x2
						3

x2 dx =

ln x −

+ C =

x(3ln x −

) + C . Проверка:

′

x(3ln x −

)

+ C

x2 (3ln x −

)

2 (3ln x −

) + 3

x ln x .

Ответ: ∫

ln xdx =

x(3ln x −

) + C .

∫

xdx

∫

(x +1) − 2

dx = −

∫

d(4 − (x +1)2

)

−∫

3− 2x − x2

4 − (x +1)2

− arcsin

x +1

+ C . Проверка:

= −

4 − (x +1)2

′

x +1

= −

− (x +1)

−

4 − (x +1)

− arcsin

+ C

2 4 − (x +1)

1−

(

x +1

)

= −

− (x +1)

−

4 − (x +1)2

3 − 2x − x2

Ответ: ∫

xdx

− arcsin

x +1

= C −

4 − (x +1)2

3− 2x − x2

4. ∫

x4 − 3x2 + 3x −1

dx . Выделяем целую часть дроби, затем делаем преобразования.

− 3x − 2

∫

− 3x2

+ 3x −1

dx = ∫[x2 + 3x +

33x +17

3x2

∫

2x − 3+133/33

8 +

]dx =

+ 8x +

dx =

− 3x − 2

133

∫

3x2

+ 8x +

x2 − 3x − 2

dx =

+ 8x +

− 3x − 2

− 3/ )

−17 / 4

133

(x −

) −

3x2

− 3x − 2

17 / 2

+ C =

+ 8x +

x2 − 3x − 2

(x −

3/ ) + 17 / 2

133

2x − 3 −

+ C . Проверка:

2x − 3 +

3x2

133

− 3 −

′

2x − 3

8x +

x2 − 3x − 2

+ C

= x2 + 3x + 8 +

2 17

− 3+

2 x2 −

3x −

133

2x − 3 −

4 (2x − 3 +

17) − 4 (2x − 3 −

17)

= x2

+ 3x + 8 +

2x − 3

2x − 3 +

(2x − 3+

− 3x −

17)2

2x − 3

133

= x2 + 3x + 8 +

133

− 3)2 −

2 17 (2x

2 x2 − 3x − 2 2 17 4x2 −12x + 9 −17

= x2

+ 3x + 8 +

2x − 3

133

= x2 + 3x + 8 +

66x + 34

= .

− 3x −

(x2 − 3x −

2 x2 − 3x − 2 x2

)

= x2 + 3x + 8 +

+ 3x3 + 8x2 − 3x3 − 9x2 − 24x − 2x2 − 6x −16 + 33x +17

− 3x2

+ 3x +1

x2 − 3x − 2

− 3x −

− 3x2

3x −

3x2

133

2x − 3

−

Ответ: ∫

+ 8x +

− 3x − 2

+ C .

− 3x

− 2

2x − 3

2 17

∫

7x −15

dx. Разлагаем подинтегральную дробь на простые дроби.

−

+ 5x

∫

7x −15

dx = ∫

7x −15

dx.

− 2x

x(x

− 2x + 5)

+ 5x

7x −15

Bx + C

A(x2 − 2x + 5) + (Bx + C)x

x(x2 − 2x + 5)

− 2x

x(x2 − 2x + 5)

x x

A(x2

− 2x + 5) + (Bx + C)x = 7x −15 .

Полагаем

x = 0,

получим

A = −3 . Приравнивая

коэффициенты при

x2 , получим

A + B = 0 . Или B = 3 . Приравнивая коэффициенты при

x ,

получим

− 2A + C = 7 .

Или

C = 1.

Таким

образом,

∫

7x −15

dx = ∫[−

3x +1

]dx = −3ln

∫

2x −

+ ∫

dx =

− 2x

(x −1)

+ 5x

x x

− 2x + 5

= −3ln

ln(x2

− 2x + 5) + 2arctg

x −1

+ C .

Проверка:

′

x −1

= −

2x − 2

− 3ln

ln(x

−

2x + 5) +

2arctg

+ C

− 2x +

1+ (x

−1)2

x 2 x2

/ 4 2

= −

3x − 3

− 3x2

+ 6x −15 + 3x2 − 3x

+ 4x

7x −15

− 2x

x(x2 − 2x

+ 5)

x x2 −

2x + 5 x

x(x2 − 2x + 5)

Ответ: ∫

7x −15

dx = −3ln

ln(x2 − 2x + 5) + 2arctg

−1

+ C .

−

+ 5x

∫

x +1

dx . Сначала делаем замену переменной, затем преобразуем

x 3 x + 6 x5

интеграл.

x = t6 , dx = 6t5dt

6(t +1)t5dt

(t +1)dt

∫

x +1

dx =

= ∫

= 6∫

(t +1)dt

+ t

(t +

− 2t

+1)

x + 6

x = t

1)(t

= 6∫

t −

1/ 2

26 x −1

= 6

arctg

+ C = 4

3 arctg

+ C .

− t +1

(t −1/ )

+ 3/ 4

3 / 2

Проверка:

−1

′

3 arctg

+ C

1+ (2

x −1)

+ (4x

x − 4x +

)

6 x +1

+ (x3

− x)

+ x3

− x](6

+1)

x + x8/ 6 − x7 / 6 + x5/ 6 + x7 / 6 − x

x 3

+ 6

Ответ: ∫

x +1

dx = 4

arctg

−1

+ C .

x 3

x + 6

∫

dx . Интегрируем с помощью замены переменной.

(16 + x2 )3

∫

x = tg t, dx =

(16 + x2 )3

(16 +16tg2t)3

cos

cos2 t

(1/cos2 t)3

= ∫costdt = sin t + C =

tg t

+ C =

+ C .

tg2t +1

x 2x

′

x2+1 −

x2 +1

x2+1

− x

Проверка:

+ C

= −

+1)

1+ x

. Ответ: ∫

dx =

+ C .

(16 + x2 )3

x2+1

∫

cos3

xdx

. Интегрируем после предварительных преобразований.

sin

∫

cos3

xdx

= ∫

(1− sin2 x) d sin x

= ∫

d sin x

− ∫d sin x = −

− sin x + C .

sin

sin x

′

cos x

cos3 x

Проверка:

−

− sin x + C =

− cos x =

(1− sin

x) =

sin x

sin2

sin2 x

2 − 3cos2 x + cos2 x(1− 2sin2 x)

2sin2 x − cos2 x + cos2 x − 2sin2 xcos2 x

sin4

2cos2 x

cos

Ответ: ∫

cos3

xdx

= C −

− sin x .

sin

sin x

∫

. Интегрируем с помощью замены переменной.

2sin x − 3cos x

= t,

dx =

2dt

∫

1+ t2

= 2∫

2sin x − 3cos x

1− t

(1+ t

)(4t /(1

+ t

)

− 3(1− t

)/(1

+ t

))

sin x

, cos x =

1+ t2

= 2∫

∫

4t − 3

+ 2

/3)

−13/9

2t /3 + 4/9 −13/9 3 2 13

3t + 2 −

+ C =

3tg(x / ) + 2 −

+ C .

3t + 2 + 13

3tg(x / ) + 2 + 13

′

3tg(x / ) + 2 − 13

Проверка:

+ C =

[

−

3tg(x /

) + 2 +

3tg(x /

) + 2 −

13 cos2

−

] =

3tg(x / ) + 2 +

13 − (3tg(x / ) + 2 −

13)

3tg(x / ) + 2 +

) +

−13]cos2 (x / )

cos

x 2

[(3tg(x /

(3sin(x /

) + 2cos(x / 2))2

−13cos2 (x /

)

9sin

2 (x /

) +12sin(x / )cos(x /

) + 4cos2 (x /

) −13cos2 (x /

)

9sin

2 (x /

) + 6sin x − 9cos2 (x/

)

2sin x − 3cos x

) + 2 −

Ответ: ∫

3tg(x /

+ C .

) + 2 +

2sin x − 3cos x

3tg(x /

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость. 10.

−1

x + 3/ 2

−1

∫

lim

2 lim arctg

= lim arctg (2x +1)

+ 6x + 5

a→−∞ ∫

(x + 3/ )

+1/ 4

→−∞

1/ 2

a→−∞

−∞

= arctg (−1) − lim arctg(2a +1)] = − π − (− π ) = π . Интеграл сходится. Ответ:

a→−∞

−1

∫

= 4

. Интеграл сходится.

2x2

+ 6x + 5

−∞

d(e

−1)

11. ∫

= lim

∫

= lim

∫

= 2lim ex −1

= 2 e −1 .

−1

ε →0

0+ε

−1

ε →0

0+ε

−1

ε →0

0+ε

Интеграл сходится. Ответ: ∫

= 2

e −1 . Интеграл сходится.

−1

Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

y = (x − )3 = f		1	(x)
12.		1		. Найдём точки пересечения линий:
12.				. Найдём точки пересечения линий:
y = 4x − 8 = f2	(x)
(x − )3 = 4x − 8 x − 2 = 0, (x − )2 = 4 x = , x						2	= 0,
					1	2		8
x3 = 4.Тогда								8
x3 = 4.Тогда
x2					4
S = 2∫[ f2 (x) − f1 (x)]dx = 2∫[4x − 8 − (x − )3 ]dx =								4
x1					2
= [2x2 − 8x − (x −		)	4	4	[32 − 32 − 4 + 8 +16] = 40 .			0	1	2	3	4
= [2x2 − 8x − (x −		)	]	=	[32 − 32 − 4 + 8 +16] = 40 .

4				2
				2				4
Ответ: S = 40 .								4
Ответ: S = 40 .
					4
								8

13.ρ = 2sin 4ϕ .. Это четырёхлепестковая роза и окружность. Найдём точки пересеченияρ = 1, (ρ > 1)

линий:
2sin 4ϕ = 1 sin 4ϕ = 1 4ϕ = kπ + (−1)k				π	90
2sin 4ϕ = 1 sin 4ϕ = 1 4ϕ = kπ + (−1)k				π
		2		6
ϕ = kπ + (−1)k		π . Вычислим площадь для одного
	4	24		180			0
лепестка и учетверим её:				180			0
лепестка и учетверим её:					0	1	2
S = 4 1	ϕ 2		5π / 24
S = 4 1	∫[ρ22 (ϕ) − ρ12 (ϕ)]dϕ = 2		∫[4sin2 4ϕ −1]dϕ =
2	ϕ		π / 24
	1
5π / 24	(1− cos8ϕ) −1]dϕ = 2[ϕ − 1 sin8ϕ]			5π / 24	270
= 2 ∫[	(1− cos8ϕ) −1]dϕ = 2[ϕ − 1 sin8ϕ]			=
π / 24			4	π / 24
π / 24				π / 24

= 2[π +					3		+		3		] = π +					3		. Ответ: S = π +												3	.
= 2[π +							+				] = π +							. Ответ: S = π +													.
	6			8				8			3				2											3			2
																																5
																													= ln			5		≤ x ≤ 8 .
		14. Вычислите длину дуги кривой (L): y																															, 3
		14. Вычислите длину дуги кривой (L): y																															, 3
																																2x

	t2																									2
	t2											8								2x		5				2
L = ∫ [1+ [y′(x)]										2	dx = ∫									2x		5						=
															1+				−						dx
															1+				−				2		dx
	t1																			5		2x
											3									5		2x
											3

8								8						dx					8					xdx
8				1				8											8
= ∫	1+			1		dx =		∫					x2 +1				=		∫		x2	+1					=
= ∫	1+			2		dx =		∫					x2 +1				=		∫		x2	+1		2			=
			x												x										x
3			x							3					x				3						x
3										3									3

3				tdt		3	t2−1+1dt				1		t −1		3


=	x2+1 = t2 , tdt = xdx	= ∫t				= ∫				= [t +		ln		]
			t	2	−1		t	2	−1		2		t +1
2						2									2

Ответ: L = 1+ 1 ln 3 .

15.Найдите объём тела вращения плоской

= 1+	1	(ln	2	− ln	1	) = 1+	1	ln	3

2		4		3		2		2

+ y2 = 1,

= 3x / , вокруг оси OX.

фигуры (S) y2

x ≥ 0.

Найдём точки пересечения линий:

1− x2 = 3x / 2 2x2 + 3x − 2 = 0

x = −

, x

= 1/ 2 .

Первая точка не может быть точкой пересечения.

Учитываем далее, что x ≥ 0.

1/ 2

V = π ∫[x2 +1− 3x / ]dx = π (

+ x −

)

= π (

−

		1		si
		0.33
1	0.5	0	0.5	1
		0.33
3 ) = π 2 + 24 − 9 = 17π
16	48	1	48
		1

Ответ: V = 17π .

48
y = 15sin	3 t,	π
	, 0 ≤ t ≤	π
16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L)	, 0 ≤ t ≤
x = 15cos	3 t	2

(астроида) вокруг оси OX.

π / 2

P = 2π ∫ y

x′2

+ y′2 dt = 30π ∫sin3 t

(45cos2 tsint) + (45sin2 t cost)2 dt =

π / 2

= 45 30π ∫sin3 t sint cost

cos2 t + sin2 t dt = 1350π ∫sin4 t d sint =

270π sin5 t 0

= 270π .

Ответ: P = 270π .

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей

математике.

17. ∫

. По справочнику находим: ∫

= −

−

1+ sin ax

+ C .

1+ sin ax

Ответ: ∫

= −

−

+ C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие

+ sin ax

математические формулы.)

∞

xdx

∞

xdx

18. ∫

. По справочнику находим: ∫

∞

xdx

π 2

Ответ: ∫

19. Точка оси OX совершает гармонические колебания относительно начала

координат. Её скорость задаётся формулой V = V0 cosωt (V0 , ω - постоянные) Найдите

закон колебания точки, если при t = 0 X = 0 .

X (t) = ∫V(t)dt = ∫V0 cosωt dt = V0

sinωt

= V0

(sinωt − sin 0) = V0 sinωt .

Ответ: X (t) = V0

sinωt .

20. Квадрат со стороной 8 м. веортикально погружён в воду так, что одна из его

сторон лежит на поверхности воды. Определите давление воды на квадрат.

Разобьём квадрат на горизонтальные полоски. На глубине h

давление на элементарную полоску составит величину

F=γh S,

где γ – плотность воды, а S=8Δh. Дифференциал силы давления

Δh

будет равен dF = 8γhdh . Тогда

F / 2 = ∫dF = 8γ ∫hdh =

4γ h

= 256γ = 256 (γ = 1) . Это давление

на одну сторону квадрата. Так что F = 512 . Ответ: F = 512 .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2015691 Кб14m1var10.pdf
#
27.03.2015676 Кб23m1var14.pdf
#
27.03.2015682 Кб14m1var16.pdf
#
27.03.2015682 Кб19m1var18.pdf
#
27.03.2015653 Кб17m2var03.pdf
#
27.03.2015663 Кб30m2var04.pdf
#
27.03.2015654 Кб25m2var05.pdf
#
27.03.2015652 Кб17m2var06.pdf
#
27.03.2015659 Кб18m2var08.pdf
#
27.03.2015655 Кб15m2var09.pdf
#
27.03.2015655 Кб13m2var13.pdf