Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m2var06

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

652.3 Кб

Скачать

☆

Вариант № 6

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.

подведение под

−

∫

= ∫(arcsin x)

2 d arcsin x =2(arcsin x)2

+ C .

знак дифференциала

− x2 )arcsin x

′

−

Проверка:

2(arcsin x)2 + C

(arcsin x) 2

1− x

)arcsin x

Ответ: ∫

= 2

arcsin x + C .

1− x2 )arcsin x

∫x ln(x2 +1)dx . Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .

ln(x2 +1) = u,

du =

2xdx

∫x ln(x

+1)dx =

+1) −

∫

dx =

x2 +1

ln(x

xdx = dv,

v =

1) −

∫

(x2 +1−1)dx2

ln(x2

+1) −

+ ln(x2

+1) + C . Проверка:

′

ln(x2 +1) −

+ ln (x2

+1)

+ C

2xln(x2

+1) + x2

) −

) = xln(x2

+1)

Ответ: ∫xln(x2

+1)dx =

ln(x2 +1) −

+ ln (x2

+1) + C .

3. ∫

4x + 7

dx = −2∫

(−2x − 2) − 3/

dx = − 2∫

3− 2x − x2

)

dx + 3∫

3− 2x − x2

3 − 2x − x2

− 2x − x2

= −4 3 − 2x − x2 + 3∫

= − 4 3− 2x − x2 + 3∫

− (x2 + 2x +1) + 4

4 − (x +1)2

x +1

+ 3 arcsin

+ C +

(x −

) +

x2 −

x +

+ C .

= −4

3 − 2x − x2

x +

′

Проверка:

− 4

− 2x − x

+ 3 arcsin

+ C =

= 4

2x + 2

4x + 4

4x + 7

2 3− 2x − x2

1−

(x +1) 2

3 − 2x − x2

3− 2x − x2

3 − 2x − x2

Ответ: ∫

4x + 7

+ 3 arcsin

x +1

+ C .

dx = −4

3 − 2x − x2

3− 2x − x2

∫

− 3x3 + 9x − 8

dx . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на

− 4x

x4 − 3x3 + 9x − 8

5x − 8

простые дроби. ∫

dx = ∫[x +1+

]dx

− 4x

x(x − 2)

5x − 8

A(x − 2)2

+ Bx(x −

2) + Cx

A(x − 2)2 + Bx(x − 2) + Cx =

x(x − 2)2

−

− 2)2

x2 (x − 2)

x x

2 (x

= 5x − 8 .

Полагаем

x = 0,

получим

A = −2.

Из

равенства

x = 2

следует

C =1.

Приравнивая коэффициенты при

x2 , получим

A + B = 0 . Или

B = 2 . Таким образом,

∫

− 3x3 + 9x − 8

dx = ∫[x +1−

]dx =

+ x −

− 2ln

+ 2ln

x − 2

+ C =

−

− 4x

+ 4x

x x

2 (x −

+ x −

+ 2ln

x − 2

+ C .

−

x − 2

′

− 3x3 + 9x − 8

Проверка:

+ x −

+ 2ln

+ C

= x +1+

−

x − 2

(x − 2)

x − 2 x

−

+ 4x

Ответ: ∫

− 3x3 + 9x − 8

+ x −

+ 2ln

x − 2

+ C .

− 4x

−

∫

x + 2

dx . Вычисляем интеграл с помощью предварительных

−

преобразований.

x + 2

x2 − 2x + 2 − x2 + 3x

(x − 3)dx

− 2 − 4)dx

∫

dx = ∫

−

∫

= ln

−

∫

− 2x

x(x

− 2x + 2)

− 2x + 2

= ln

−

x2 − 2x

+ 2

+ 2∫

= ln

+ 2arctg(x −1) + C .

(x −1)

x2 − 2x + 2

Проверка:

2x − 2

′

x2 − 2x + 2 − x

− 2x + 2

+ 2arctg(x −

1) + C

− 2x + 2

+ 2

− 2x + 2 − x

2 + x

x2 − 2x + 2 − x

2 + x + 2x

x + 2

x(x2 − 2x +

−

2x + 2

x(x2 − 2x + 2)

3 − 2x2 + 2x

1+ (x −1)2

Ответ: ∫

x + 2

dx = ln

+ 2arctg(x −1) + C .

−

x2 − 2x + 2

∫

dx . Интегрируем с помощью замены переменной.

− 3

6t6dt

t2dt

(t2

−1+1)dt

∫

6 x

dx =

= t6 , dx = 6t5

= ∫

= 6∫

= 6[∫(t

+1)dt + ∫

]

−1

6 x5 − 3 x2

− t

−1

= 3t2 + 6[t + ln t −1]+ C = 33x + 6[6x + ln 6x −1]+ C .

Проверка: (33

+ 6[6

−1]+ C)′ = x−2 / 3 + x−5/ 6 +

x + ln

6x5/ 6

x −1

x1/ 3

− x1/ 6 + x1/ 6 −1

6 x

Ответ:

x − x5/ 6

6 x5 − 3 x2

dx = 33 x + 6[6 x + ln

6 x −1]+ C .

∫ 6 x5

− 3 x2

7. ∫x2

4 − x2 dx . Интегрируем с помощью замены переменной.

∫x2

x = 2sint, dx = 2costdt,

= 16∫sin2 t cos2 tdt = 4∫sin2 2tdt =

4 − x2 dx =

− x

4 1− sin

t) = 4cos

= 2∫

1− cos4t)dt = 2t −

sin 4t + C = 2arcsin

− 2sint cost 1− 2sin2 t) + C = 2arcsin

−

1−

2 − x2 ) + C = 2arcsin

−

4 − x2

2 − x2 ) + C .

Проверка:

′

2x2

2 − x2 )

2arcsin

−

4 − x

2 − x

) + C =

−

[ 4 − x

2 − x

) −

−

2 4

1− x2 / 4 2 4

2 4 − x2

4 − x2 )(2

− x2 ) − x2 2 − x2 ) − 2x2

4 − x2 )

− 2x2 4 − x2 ] =

−

4 − x2

4x2 (

− 4)

+ 8

dx = 2arcsin

−

= x2

4 − x2 . Ответ: ∫x2

4 − x2

2 − x2 ) + C .

4 − x2

8. ∫sin5 xdx . Интегрируем после предварительных преобразований.


∫sin5 xdx = −∫ 1− cos2 x)2 d cos x = −∫ 1− 2cos2 x + cos4 x)d cos x =
= −[cos x −	2	cos3 x +	1	cos5 x]+ C = C − cos x +									2	cos3 x −			1	cos5 x .
= −[cos x −		cos3 x +		cos5 x]+ C = C − cos x +										cos3 x −				cos5 x .
3		5										3				5
					2		3		1		5	′			2				2		1		4
Проверка: C − cos x +						cos		x −		cos		x = sin x −				3cos				x sin x +		5cos		x sin x =
Проверка: C − cos x +						cos		x −		cos		x = sin x −				3cos				x sin x +		5cos		x sin x =
					3				5						3						5

= sin x 1− 2cos2 x + cos4 x) = sin x 1− cos2 x − cos2 x 1− cos2 x) = sin x(sin2 x − cos2 xsin2 x) = = sin3 x 1− cos2 x) = sin5 x .

Ответ: ∫sin5 xdx = C − cos x + 2 cos3 x − 1 cos3 x.
3	5

9. ∫ 4 + tg x + 4ctg x . Делаем замену переменной, затем разлагаем на простые дроби.

∫

tg x = t, dx =

= ∫

dt =∫

tdt

+ t

4 + t + 4/t)(1+ t

)

+ 4t + t

)(1+ t

)

+ tg x + 4ctg x

= ∫

tdt

(t + 2)

1+ t

)

+ D

1+ t2 )(t + 2) + B

1+ t2 ) + (Ct + D)(t + 2)2

(t + 2)2

1+ t2

(t +

2)2 1+ t2 )

1+ t2 ) t +

2 (t + 2)2

A 1+ t2 )(t + 2) + B 1+ t2 ) + (Ct + D)(t + 2)2

= t . Полагая t = −2 , получим B = −2/5 .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях: при t3 : A + C = 0, при t2 :

2A + B + 4C + D = 0 , при t : A + 4C + 4D = 1. Решая систему, находим:

A = −3/ 25, B = −2/5, C = 3/ 25, D = 4/ 25. Таким образом, ∫

4 + tg x +

4ctg x

= −

∫

−

∫

3t +

dt = −

t + 2

∫

dt +

∫

t +

1+ t

2 5

+ 2)

5 t +

2 50

1+ t

= − 3 ln t + 2 + 2

+ 3 ln(1+ t2 ) + 4 arctg t + C = − 3 ln tgx + 2 +

5(tgx + 2)

+ 3 ln(1+ tgx2 ) + 4

x + C = 4

x +

+ 3 ln(1+ tgx2 ) − 3 ln tgx + 2 + C .

5(tgx +

Проверка:

+ tg2 x) −

ln tgx + 2 + C

′

−

x +

ln(1

5(tgx

+ 2)

(tgx + 2)

cos

+ 3

2tgx

− 3

= 4 − 1 10 + 3tgx + 6

+ 3 tgx =

+ tg2 x

cos2 x

tgx + 2

cos2 x

(tgx + 2)2

cos2

−

(16 + 3tgx)(tg 2 x +1)

tgx =

(tgx + 2)2

4(tgx +

2)2

− (16 + 3tgx)(tg 2 x

+1) + 3tgx(tgx

+ 2)2

25tgx

tgx

(tgx + 2)2

tg2 x +

4tgx + 4

4 + tg x + 4ctg x . Ответ:

= 4

x +

+ 3 ln(1+ tgx2 ) − 3 ln tgx + 2 + C .

∫ 4 + tg x + 4ctg x

5(tgx + 2)

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.

∞

u = x, du = dx,

+ 1

10. ∫xe−axdx = lim

∫xe−ax dx =

−ax

dx = dv, v = −

−ax

= lim[−xe−ax

∫e−axdx] =

b→∞

= lim[−be−ab

− 1

e−ax

b ] = − lim

− 1

lime−ab

+ 1

= − lim

+ 1 =

. Интеграл

b→∞

b→∞ eab

b→∞

b→∞ aeab

∞

12 , a > 0 . Интеграл сходится.

сходится при условии a > 0 .

Ответ: ∫xe−axdx =

π / 2

11.

∫

ctg xdx = lim

∫

ctg xdx = limln sin x π / 2

= ln1− limlnsinε

= ∞ . Интеграл

→0

ε →0

расходится.

π / 2

Ответ: ∫ctg xdx . Интеграл расходится.

Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

y = 4 − x

2 = f

(x)

12.

. Найдём точки пересечения

y = 2 − x

= f2 (x)

линий: 4 − x2

= 2 − x x2

− x − 2 = 0 x

= −1, x

= 2 .

Тогда

S = ∫[ f1 (x) − f2 (x)]dx = ∫[4 − x2 − 2 + x]dx =

−1

x3 2

1 8 1 `9

= ∫[2 + x −x

]dx = [2x +

−

]

= 4 + 2 + 2 −

−

= 4.5

−1

. Ответ: S = 4.5 .

x = 2cost

13. y = 6sint

. Это часть эллипса. Найдём точки

y = 3, (y ≥ 3)

пересечения линий:

6sint

= 3 sin t = 1 t

= 5π , t

= π . Следовательно,

π / 6

S = ∫(y(t) − 3)dx(t) = − ∫[6sin t − 3]2sintdt =

5π / 6

π / 6

= −6

∫[2sint −1]sintdt = −12

∫sin2 tdt −

5π / 6

										π / 6															1						π / 6													2π
										π / 6																					π / 6																		3
					π5π/ 6/ 6 = −6 ∫ 1− cos2t)dt − 6																					sin 2t]											= −6[−										−			]− 6
− 6cost																	3 = − 6[t −																− 6			3																		3 =
																	3 = − 6[t −																− 6			3																		3 =
																								2							5π / 6												3					2
										5π / 6														2																			3					2
										5π / 6

= 4π − 3							3 . Ответ: S = 4π − 3							3 .
																												12	ϕ
																				ρ					= 6e 5										(логарифмическая спираль).
		14. Вычислите длину дуги кривой (L):																																	(логарифмическая спираль).
																				−				π / 2 ≤ ϕ ≤ π / 2

	ϕ2									π / 2																				π / 2 12																							π / 2
													24	ϕ				144	24		ϕ						6						ϕ								6		13			5		12			ϕ
													24						24																													12

L = ∫ ρ						2 + ρ′2 dϕ = ∫																								∫ e 5
													36e 5		+ 36				e 5 dϕ =															169dϕ =														e 5						=
													36e 5		+ 36				e 5 dϕ =															169dϕ =														e 5						=
	ϕ									−π / 2								25										5 −π / 2															5 12										−π / 2
1																																																					−π / 2
6						6
=	13	(e		π		− e−			π ) = 13sh		6	π . Ответ: L = 13sh										6	π .
	13		5					5			6											6
			5					5
2						5															5
																																	y = 2 − x)
																																	y = 2 − x)											x,	вокруг оси
		15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S)																																											вокруг оси
																																	y = 0
OX.
		Точки пересечения линии с осью OX - x1																							= 0, x2					= 2 .
		x2				2									2																			4				x	4			2							32
		x2				2									2																								4			2
V = π ∫ y2dx = π ∫ 2 − x)2 xdx = π ∫																4x − 4x2 + x3 )dx = π 2x2																−			x3 +					)			= π 8 −									+ 4) =
V = π ∫ y2dx = π ∫ 2 − x)2 xdx = π ∫																4x − 4x2 + x3 )dx = π 2x2																−			x3 +					)			= π 8 −									+ 4) =
		x1				0									0																		3		4							0						3
		x1				0									0																											0

= 4π . Ответ: V = 412π .

315

y = 4sin x

≤ t ≤ π /3

16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L)

, 0

x =

4cost

вокруг оси OX.

π / 3

P = 2π ∫ y(t) x′2 (t) + y′2 (t)dt = 2π ∫4sint 16sin2 t +16cos2 xdt = 32π ∫sin tdt =

= −32π cost

π / 3

= −32π 1/ 2 −1) = 16π . Ответ: P = 16π .

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей

математике.

17. ∫

. По справочнику находим: ∫

+ cosax

a 2

Ответ: ∫

. (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические

+ cosax

a 2

формулы.)

∞ sin x

∞ sin ax

18. ∫

dx . По справочнику находим: ∫

, a > 0,

∫

dx = −

, a < 0.

∞ sin x

В данном случае получим: ∫

dx =

. Ответ: ∫

dx =

19. Прямоугольный треугольник с основанием b и высотой h погружён в воду вершиной вниз так, что основание находится на поверхности воды. Найдите силу давления воды на треугольник.

Выразим ширину треугольника x на глубине y через y:	b	=	h	x = b 1−	y	).
			b − y
	x				h
Тогда

площадь элементарного слоя треугольника на глубине y будет равна

dS = xdy = b 1− y)dy . h

Этот слой будет испытывать давление силы dP = ydS = b 1− y)ydy . Следовательно,

P = ∫dP(y) = ∫b 1−

)ydy = b∫ 1−

)ydy = b[

−

]

= b[

−

] =

. Ответ:

P = bh2 (это сила давления на одну сторону треугольника).

6
	20. Прямой круговой конус с вертикальной осью погружён в воду так, что его
вершина находится на поверхности воды. Определите работу, необходимую для
извлечения конуса из воды, если диаметр основания
конуса 20 дм, а его высота 10 дм.
	Так как конус полностью погружён в воду, то
	Так как конус полностью погружён в воду, то
сила выталкивания уравновешивается весом конуса.															x			y
Следовательно, плотность воды и конуса одинаковы.																		y				10


Приподнимем конус на величину h. Тогда над
поверхностью воды появится конус высотой h с
радиусом основания также равном h (так как высота
данного конуса равна радиусу основания), остальная													20
часть всего конуса будет уравновешена
выталкивающей силой. Вес конуса над поверхностью воды равен P(y) =																	γπh2h			=	γπh3	.
																		3		=	3	.
																		3			3
Работа по поднятию этого малого конуса на величину dh будет равна dA =																		γπh3		dh .
																		3		dh .
																		3
		H	γπh	3	H	γπ			4		H	γπH	4
		H		3	H				4		H		4
Следовательно, A = ∫				dh = γπ	∫h3dh =			h		]	=		=	1000	π =	250			π . Ответ:
Следовательно, A = ∫			3	dh = γπ	∫h3dh =	3				]	=	12	=		π =				π . Ответ:
0			3	3	0	3	4				0	12	12				3
0					0						0
A =	250	π .
A =		π .
3

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2015681.57 Кб11m1var16.pdf
#
27.03.2015681.79 Кб15m1var18.pdf
#
27.03.2015653.45 Кб14m2var03.pdf
#
27.03.2015663.17 Кб17m2var04.pdf
#
27.03.2015653.93 Кб16m2var05.pdf
#
27.03.2015652.3 Кб12m2var06.pdf
#
27.03.2015659.11 Кб11m2var08.pdf
#
27.03.2015654.59 Кб7m2var09.pdf
#
27.03.2015655.06 Кб10m2var13.pdf
#
27.03.2015652.64 Кб13m2var14.pdf
#
27.03.2015652.32 Кб11m2var15.pdf