Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m2var18

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

659.79 Кб

Скачать

☆

Вариант № 18

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить

дифференцированием.

1. ∫

dx =

∫

e2x

dx =

подведение под

∫

d(e2x +1)

ln(e2x

+1) + C .

+ e

−x

знак дифференциала

′

2e2x

e2x

Проверка:

ln(e

+1) + C

+ e−x

2 e2x +1 e

2x +1 ex

Ответ: ∫

dx =

ln(e2x

+1) + C .

+ e

−x

2. ∫

x cos

dx . Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .

sin

∫∫

x cos x

x = u,

dx = du

∫

ctg x

dx =

cos x

dx = dv,

v = −

= −

−

+ C =

sin3 x

2sin2 x

sin3 x

ctg x

′

= −

xcos x

. Проверка:

−

+ C

2sin2 x

2sin2

sin3 x

2sin2

sin3

Ответ: ∫

xcos

dx = C −

(

+ ctg x) .

sin

3. ∫

x +1

dx . Интегрируем после преобразований.

− 4x − 4x2

∫

x +1

dx = −

∫

− 4 − 8x − 4

dx = −

∫

(15 − 4x − 4x2

)

dx +

∫

− 4x − 4x2

15 − 4x − 4x2

∫

= −

∫

= −

15 − 4x − 4x2

− 4(x2 + 2

x +

)

4 − (x +

arcsin

x +1/ 2

+ C = С −

arcsin

2x +1

= −

15 − 4x − 4x2

+1 ′

−

− 4x − 4x

Проверка: С

arcsin

= −

− 8x − 4

2x +1

4 2 15 − 4x − 4x2

1−

(2x +1)2

4 2 15 − 4x − 4x2

2 16 − 4x2 − 4x −1

+ 2

x +1

2 15 − 4x − 4x2

15 − 4x − 4x2

Ответ: ∫

x +1

arcsin

2x +1

dx = С −

15 − 4x − 4x2

4. ∫

+ 2x2 − 4x + 3

dx . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на

−

+ x

простые дроби. ∫

+ 2x2 − 4x +

dx = ∫

[1+

4x2 − 5x + 3

]dx

−

+ x

x(x −1)

4x2 − 5x + 3

A(x −1)2 + Bx(x −1) + Cx

A(x

−1)2 + Bx(x −1) + Cx =

x(x −1)2

1)2

x2 (x − 2)

x x −

1 (x −

= 4x2

− 5x + 3 .

Полагаем

x = 0,

получим

A = 3 . Из

равенства

x = 1

следует C = 2 .

Приравнивая коэффициенты при

x2 , получим A + B = 4 . Или

B = 1. Таким образом,

+ 2x2 −

4x + 3

∫

dx = ∫[1

]dx = x −

+ 3ln

+ ln

x −1

+ C =

− 2x

+ x

x x

−1 (x

−1)

−1

= x −

+ ln

x3 (x −1)

+ C .Проверка:

x −1

′

x −

+ ln

(x −1)

+ C

= 1+

[3x

(x −1) + x

] =

x −

−

1)2

x3 (x −1)

(x −1)2

+ 2x3

+ (x −1)(4x3 − 3x2 )

− 2x4 + x3 + 2x3

+ 4x4

− 3x3 − 4x3 + 3x2

x3 (x −1)2

(x −1)2

+ 2x4 − 4x3 + 3x2

3 + 2x2 − 4x + 3

x3 (x

−1)2

x(x −1)2

Ответ: ∫

+ 2x2 − 4x + 3

dx = x −

+ ln

x3 (x −1)

+ C .

− 2x

+ x

−

∫

13x + 26

dx . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем.

− 2)(x

+ 6x +10)

∫

13x + 26

dx = 13∫

x + 2

dx :

−

2)(x

+ 6x +

10)

(x − 2)(x

+ 6x

+10)

x + 2

Bx + C

A(x2

+ 6x +10) + (Bx + C)(x − 2)

(x − 2)(x2

6x +10)

x2 + 6x +10

(x − 2)(x2 + 6x +10)

x − 2

A(x2

+ 6x +10) + (Bx + C)(x − 2) = x + 2 . Полагая x = 2 , получим A = 2/13. Приравняем

коэффициенты при x2 : A + B = 0 B = −2/13. Приравняем коэффициенты при x0 :

10A − 2C = 2 C = −3/13 . Таким образом,

∫

13x + 26

dx = ∫[

−

2x + 3

]dx = 2ln

x − 2

− ln(x2 + 6x +10) +

−

2)(x

+ 6x +

10)

+ 6x +10

+ 3∫

= ln

(x − 2)2

+ 3arctg (x + 3) + C .

(x + 3)

+ 6x +10

Проверка:

′

(x − 2)

2x + 6

+ 3arctg (x

+ 3) + C

−

+ 6x +10

x − 2

+ 6x +10 1+ (x + 3)

2(x2 + 6x +10) − (2x + 6)(x − 2) + 3(x

− 2)

2x2

+12x + 20 − 2x2 − 2x +12 +

3x − 6

(x − 2)(x2

+ 6x +10)

(x −

2)(x2

+ 6x +10)

13x + 26

. Ответ:

∫

13x + 26

dx = ln

(x − 2)2

+ 3arctg (x

(x − 2)(x

+ 6x +

(x − 2)(x

+ 6x +10)

10)

+ 6x +10

6. ∫

. Интегрируем с помощью замены переменной.

x +

= t6

, dx = 6t5dt

6t5dt

t3dt

∫

= ∫

= 6∫

= 6∫[t2 − t +1−

]dt = 6[

−

+ t

t +1

3 x + x

x = t3 , 3 x = t2

− ln t +1] + C = 2x − 33x + 66x − 6ln 6x +1]+ C .

+3) + C .

+t −

Проверка:

+1] + C)′ = x−1/ 2− x−2/ 3+ x−5/ 6−

x−5/ 6

− 6ln

(x1/ 3− x1/

+1)(6

x +1) −1

x − 33 x + 66

6 x +1

(6 x +1)x5/ 6

x1/ 2

− x1/ 3 + x1/ 6 + x1/ 3− x1/ 6+1−1

x1/ 2

(6 x +1)x5 / 6

(6 x +1)x5/ 6

(6 x +

1)x2 / 6

3 x

+ x

Ответ: ∫

= 2 x − 33

x + 66 x − 6ln

x +1] + C .

x +

7. ∫

x2 + a2

dx . Интегрируем по частям.

xdx

u =

+ a2 , du =

+ a

x2 + a2

∫

dx =

x2 + a2

= −

+ ∫

x2+ a2

dv =

v = −

x2+ a

= −

+ ln

x + x2+ a2

+ C .

′

− x2+ a2

+ a

+ C

= −

Проверка:

−

+ ln

x +

2+ a2

x +

x + a

+ x2

x2+1

x2+ a2

Ответ: ∫

x2 + a2

dx = −

+ ln

x +

x2+ a2

+ C .

8. ∫tg5 3xdx . Интегрируем с помощью замены переменной.

∫tg5 3xdx =

tg3x = t, dx =

1 dt

∫

t5dt

∫[t3− t

]dt =

[

−

ln(t2 +1) + C =

31+ t

3 4 2 2

[

−

ln(t2 +1)]+ C =

tg4 3x −

tg2 3x +

ln(tg2 3x +1) + C =

tg4 3x −

tg2 3x +

ln(

) + C =

tg4 3x −

tg2 3x −

cos3x

+ C .

cos2

′

3sin3x

Проверка:

3x −

cos3x

+ C

= [

3x −

tg3x]

cos2

cos3x

= [tg3 3x − tg3x]

+ tg3x = tg3 3x

+ tg3x(1−

) = tg3 3x

− tg3 3x =

cos2

cos2 3x

= tg3 3x(

−1) = tg5 3x .

cos2 3x

Ответ: ∫tg5 3xdx =

tg4 3x −

tg2 3x −

cos3x

+ C .

9. ∫ sin3 xdx . Интегрируем с помощью замены переменной. 2 + cos x

sin3 xdx

2 + cos x = t,

dt = −sin xdx

1− (t − 2)2

t2 − 4t + 3

∫

= −∫

dt =∫

2 + cos x

sin

x = 1− cos

1− (t − 2)

− 4t + 3ln

+ C =

(t2

− 8t +16) − 8 + 3ln

+ C =

(t − 4)2

+ 3ln

+ C =

(cos x − 2)

+ 3ln

2 + cos x

+ C .

Проверка:

(cos x − 2)2

′

3sin x

− (cos2 x − 4)sin x − 3sin x

+ 3ln

2 + cos x

+ C

= −(cos x − 2)sin x −

2 + cos x

−

(cos2 x − 4)sin x − 3sin x

sin x(1− cos2 x)

sin3 x

+ cos x

2 + cos x

Ответ: ∫

sin3 xdx

(cos x − 2)2

+ 3ln

2 + cos x

+ C .

2 + cos x

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.

∞

cos(1/ x)

10.

∫

dx =

= t, −

= dt

= − ∫cos(t)dt = − sint

π / 2

= 1. Интеграл сходится.

2 /π

π / 2

∞

cos(1/ x)

Ответ:

∫

dx = 1. Интеграл сходится.

2 /π

11.

∫

= lim

∫

= lim ∫[

−

]dx =

lim[ln

x − 3

− ln

x −1]

(x − 3)(x −1) α →1

(x − 3)(x −1)

α →1

2(x − 3)

2(x −1)

1→0

=1 lim[lnα − 3 − lnα −1] = −∞ . Интеграл расходится. 2 α →1

1	dx
Ответ: ∫
		. Интеграл расходится.

0	(x − 3)(x −1)

Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

y = x2 − 5x + 9 = f		1	(x)
12.		1			.	Найдём точки пересечения
12.					.	Найдём точки пересечения					30
y = −7x + 9 = f2 (x)											30
y = −7x + 9 = f2 (x)
линий: x2 − 5x + 9 = −7x + 9 x2							+ 2x = 0 x = −2, x		2	= 0.	24
								1	2
Тогда											18
x2			0								18
x2			0
S = ∫[ f2 (x) − f1 (x)]dx = ∫[−7x + 9 − (x2								− 5x + 9)]dx =			12
x1			−2
0	2 + x			3	]	0				4 .	6
= ∫[−2x −x2 ]dx = −[x	2 + x				]	= 4 − 8 = 4 . Ответ: S =				4 .	2	1.5		1	0.5	0
											2	1.5		1	0.5	0
−2			3			−2	3	3		3
x = 6cost
13. y = 4sin t			. Это часть эллипса. Найдём точки
											4
y = 2 3, (y ≥ 2	3)
пересечения линий:
											3
								4
											2	3	0		3	6
											6	3	0		3	6

2π

= π

4sint

= 2

3 sin t

3 / 2 t

, t

. Следовательно,

π / 3

S = ∫(y(t) − 2

3)dx(t) = − ∫[4sint − 2

3]6sintdt =

2π / 3

π / 3

π / 6

= −12 ∫[2sint − 3]sintdt = −24 ∫sin2 tdt − −12

3 cost

= −12

∫(1− cos2t)dt −12 3 =

2π / 3

5π / 6

π / 3

= = −12 [− π −

−12[t −

−12

]−12

= 4π − 6

. Ответ: S = 4π − 6

sin 2t]

3 .

2π / 3

ρ =

2ϕ

(спираль Архимеда).

14. Вычислите длину дуги кривой (L):

0 ≤ ϕ ≤ 3/ 4

ϕ2

3/ 4

L = ∫

ρ 2

+ ρ′2 dϕ = ∫

4ϕ 2

+ 4dϕ = 2 ∫

ϕ 2

+1dϕ = 2J . Найдём J.

ϕ1

ϕdϕ

u =

1+ ϕ

du =

3/ 4

J = ∫ 1+ ϕ 2 dϕ =

1+ ϕ 2

= ϕ 1+ ϕ 2

−

dv = dϕ, v = ϕ

3/ 4

− ∫

ϕ dϕ

∫

(ϕ +1−1)dϕ

3/ 4

− ∫

−

+ ln(ϕ +

1+ ϕ 2 )

1+ ϕ 2 dϕ =

+ ln 2

− J .

1+ ϕ

Отсюда находим J =

[

+ ln 2] . Следовательно, L =

+ ln 2 .

2 16

Ответ: L = 65 + 2ln 3 .

722

15.Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S)

y = 3sin3	t
	, вокруг оси OX.
	, вокруг оси OX.
x = 2cos3	t

Найдём пределы интегрирования. Так как x изменяется от -2 до 2, то t меняется от –π до 0.

t2	0
V = π ∫ y2 (t)dx(t) = −π ∫9sin6 t 6cos2 t sintdt =
t1	−π

=cost = z, = 54π ∫(1− z2 )3 z2 dz = dz = −sintdt 1

−1

3
0
3	0	2
2	0	2

1				z	3		z	5		z	7		z	9			1		2		2		2		2		192
1					3			5			7			9			1
= 54π ∫(z2 − 3z4 + 3z6			− z8 ) dz = 54π[			− 3			+ 3			−				]		= 54π[		− 3		+ 3		−		] =		π
= 54π ∫(z2 − 3z4 + 3z6			− z8 ) dz = 54π[			− 3			+ 3			−				]		= 54π[		− 3		+ 3		−		] =		π
−1			3			5			7				9				−1	3		5		7		9		35
−1													9				−1
.
Ответ: V =	192	π .
Ответ: V =		π .
35
															y			= x3 /3		вокруг оси OX.
16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L)																				вокруг оси OX.
															−			2 ≤ x ≤ 2

x2		2	x	3				1	2
P = 2 2π ∫ y	y′2 +1	dx = 4π ∫				x4 +1	dx =		π ∫(x4 +1)1/ 2d(x4 +1) =
			3
x	0				3				0
1

= 1π 2 (x4 +1)3/ 2

3	3	0
		0

= 2π[1717 −1]. Ответ: P = 2π[1717 −1].

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.

17. ∫cos(ln x)dx . По справочнику находим: ∫cos(ln x)dx =

[sin(ln x) + cos(ln x)] + C .(Г.Б.

Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы.)

Ответ: ∫cos(ln x)dx =

[sin(ln x) + cos(ln x)] + C .

ln x

18. ∫

dx . По справочнику находим: ∫

dx = −

x +

x +1

ln x

π 2

Ответ: ∫

dx = −

x +1

19. Определите массу прямого кругового конуса с

высотой H и углом между высотой и образующей α,

если плотность в каждой точке конуса пропорциональна

расстоянию её от плоскости, проходящей через вершину

конуса параллельно основанию.

На уровне y связь между x и y имеет вид:

= tgα x = (H − y)tgα . Разрбъём конус на

H − y

элементарные слои. Объём элементарного слоя будет

равен dV = πx2dy = π (H − y)2 tg 2α dy . Масса

элементарного слоя равна

dm = kπ (H − y)2 tg 2α (H − y)dy = kπ (H − y)3 tg 2α dy ,

где k – коэффициент пропорциональности.

Следовательно,

(H − y)

kπH

m = ∫kπ (H − y)3 tg 2α dy = −kπtg 2α

. Ответ: m =

kπH

20. Вертикальная плотина имеет форму полукруга, диаметр которого совпадает с

уровнем воды и имеет длину 40 м. Вычислите силу давления

воды на плотину.

Радиус полукруга равен R = 20 , уравнение окружности

x2 + y2 = R2 x =

R2 − y2 . Разобьём плотину на

горизонтальные полоски. На уровне y давление на

элементарную полоску составит величину F=−γy

S (знак

минус, так как координата y отрицательна), где γ – плотность воды, а

S = 2x

y = 2

R2 − y2 y . Дифференциал силы давления будет равен

dF = −2γy

− y2 dy . Тогда

16000

F = ∫dF = −2γ ∫ y

R2 − y2

dy =

γ (R2 − y2 )3/ 2

γ R3

≈ 5333 (γ = 1) .

−R

Ответ: F ≈ 5333 т.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2015655.06 Кб10m2var13.pdf
#
27.03.2015652.64 Кб13m2var14.pdf
#
27.03.2015652.32 Кб11m2var15.pdf
#
27.03.2015653.75 Кб14m2var16.pdf
#
27.03.2015650.31 Кб11m2var17.pdf
#
27.03.2015659.79 Кб37m2var18.pdf
#
27.03.2015275.71 Кб27m3var12.pdf
#
27.03.2015273.25 Кб11m3var15.pdf
#
27.03.2015403.74 Кб11Makroekonomika-Plany_zanyaty-2014-09-04.pdf
#
04.09.2019337.41 Кб8makroekonomika_kursovik (1).doc
#
11.03.2016449.02 Кб33Malahova.doc