ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы — исследование затухающих электромагнитных колебаний и определение характеристик затухания.

Приборы и принадлежности: колебательный контур и установка для возбуждения свободных колебаний в контуре, электронный осциллограф.

Краткие сведения из теории

Колебательный контур состоит из последовательно соединенных конденсатора с емкостью С и катушки индуктивностью L и омическим сопротивлением R (13.1).

Рис. 13.1

При свободных электромагнитных колебаниях в контуре полная энергия колебаний складывается из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки индуктивности. По закону сохранения энергии, убыль энергии электромагнитного поля за некоторый промежуток времени dt равна приращению за это же время количества выделившегося тепла, если можно пренебречь потерями на излучение:

где U – мгновенное значение падения напряжения на конденсаторе; I=dq/dt=C(dU/dt) – мгновенное значение силы тока.

Из выражения (13.1) можно получить дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

81

обозначим R/L ≡ 2β и 1/LC ≡ ω02, где β =R/2L – коэффициент затухания; ω0 – собственная частота колебаний колебательного контура, равная частоте свободных незатухающих колебаний при R≈0. Тогда уравнение (13.2) приводится к виду

Если β < ω0, т.е. затухание мало, то решение этого уравнения представляет затухающий колебательный процесс:

ω ω0= 1/ LC .

График затухающих колебаний представлен на рис. 13.2. Затухающий колебательный процесс не является периодическим, периодически повторяются лишь нулевые значения падения напряжения на конденсаторе.

Рис. 13.2

Наименьший промежуток времени между двумя моментами, когда колеблющаяся физическая величина проходит через нулевое значение в одном направлении, называется периодом затухающих колебаний: Т = 2π/ω. В соответствии с видом функции (13.3), затухающее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой ω и амплитудой, убывающей по экс-

82

поненциальному закону: Ua =Ua0e−βt , где Ua0 – амплитуда ко-

лебаний в начальный момент времени. Пунктирная кривая на рис. 13.2 дает график зависимости амплитуды колебаний Ua от времени. Затухание колебаний описывают с помощью логарифмического декремента затухания, который характеризует уменьшение амплитуды за период:

Λ = ln U(a (t) ) = βT . Ua t +T

Логарифмический декремент затухания является характеристикой контура, так как зависит от параметров контура L, С, R:

Колебательный контур часто характеризуют его добротностью Q, которая обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания:

Энергия колебаний уменьшается с течением времени, так как на сопротивлении R выделяется джоулево тепло. В моменты времени, когда

I = dqdt = C dUdt ,

напряжение на конденсаторе достигает максимального (амплитудного) значения Uа и полная энергия колебаний равна энергии заряженного конденсатора: W=CUa2/2. Следовательно, полная энергия колебаний убывает по экспоненциальному закону:

Если 2Λ<<1, то е-2Λ 1 – 2Λ и W/W 2Λ = 2π/Q.

Таким образом, при слабом затухании добротность контура с точностью до множителя 2π равна отношению энергии, запасенной в контуре, к убыли этой энергии за период: Q = 2πW/ W.

83

Описание экспериментальной установки

Колебательный контур (рис. 13.3) состоит из последовательно соединенных катушки индуктивности L и двух раздельно подключаемых конденсаторов C1, С2. Активным сопротивлением R контура является сопротивление проволоки катушки индуктивности. Остальные элементы цепи обеспечивают нормальный режим работы.

Рис. 13.3

Конденсаторы C1, C2 могут поочередно присоединяться к контуру с помощью переключателя П. Напряжение с конденсатора подается на «Вход Y» электронного осциллографа (ЭО). Отклонение луча ЭО по вертикали пропорционально поданному на «Вход Y» напряжению U, причем одному большому делению вертикальной шкалы соответствует определенное напряжение, задаваемое переключателем «Вольт/дел.». Развертка луча по горизонтали осуществляется таким образом, что одно большое деление горизонтальной шкалы луч проходит за определенное время t0, задаваемое переключателем «Время/дел.». Поэтому на экране осциллографа можно наблюдать в определенном масштабе зависимость U(t), т.е. график затухающих колебаний.

Конкретные задачи

1.Измерить характеристики затухающего колебательного

процесса в контуре с первым конденсатором (логарифмический декремент затухания Λ, период колебаний Т, коэффициент затухания β, добротность Q).

2.Измерить характеристики колебательного процесса в контуре со вторым конденсатором.

3.Вычислить энергию колебаний в моменты времени, когда полная энергия равна энергии заряженного конденсатора.

84

4. Построить графики зависимости энергии, запасенной в колебательном контуре, от времени; определить относительное уменьшение энергии за период.

Порядок выполнения работы

1.Соединить «Вход Y» осциллографа с соответствующими клеммами установки.

2.Включить установку и осциллограф в сеть.

3.С помощью переключателя П включить в контур первый конденсатор.

4.Вывести изображение колебательного процесса в среднюю часть экрана осциллографа с помощью ручек «↕» и «↔».

5.Для определения логарифмического декремента затухания

иэнергии колебаний измерить шесть последовательных ампли-

тудных значений напряжения на конденсаторе: Uа0, Uа1,…, Uа5. За Uа0 принять одно из первых амплитудных значений напряжения. Значения Uаm выразить в больших делениях шкалы с точностью до десятых долей большого деления. Результат измерения занести в табл. 13.1. Записать цену К большого деления вертикальной шкалы осциллографа, которая указана переключателем «Вольт/дел.». Измеренное напряжение в вольтах равно цене деления, умноженной на число делений. (Например, цена деления

85

6. Для измерения периода Т затухающих колебаний определить по горизонтальной шкале осциллографа, за какое время t совершаются несколько полных колебаний. В табл. 13.2 занести число полных колебаний N; время t, измеренное в больших делениях горизонтальной шкалы осциллографа (с точностью до десятых долей большого деления), и цену одного деления в мс/дел. Цена деления t0 горизонтальной шкалы осциллографа задается с помощью переключателя «Время/дел.». Время t, мс, равно цене деления t0, умноженной на число больших делений. (Например, t0 = 0,2 мс/дел., время в больших делениях горизонтальной шкалы равно 4,2 деления, тогда t = 0,2·4,2 = 0,84 мс). Экспериментальное значение периода колебаний определяется по формуле

7. С помощью переключателя П включить в контур второй конденсатор и повторить действия пп. 4 – 6 для колебательного контура со вторым конденсатором. Результаты измерений зане-

сти в табл. 13.1 и 13.2.

Обработка и анализ результатов измерений

1. На основе результатов измерений Uam из табл. 13.1 определить логарифмический декремент затухания Λ для контура с первым конденсатором. Логарифмический декремент затухания вычисляется по формуле.

Λ= 1 ln Ua0 . 5 Ua5

Вычислить погрешность определения Λ:

86

(Погрешность измерения напряжений, связанная с классом точности осциллографа, составляет 10%). Результаты занести в табл. 13.3. Аналогично, по данным табл. 13.1 определить логарифмический декремент затухания для контура со вторым конденсатором.

2. Найти экспериментальные значения периодов затухающих колебаний по формуле (13.7) на основе данных табл. 13.2. Сравнить полученные результаты с теоретическими значениями. В нашем случае можно принять ω ω0, так как

Тогда теоретическое значение периода колебаний вычисляется по формуле

Результаты занести в табл. 13.3. Сделать вывод о соответствии экспериментальных и теоретических значений периода колебаний. При этом учесть, что погрешность в измерении временных интервалов, связанная с классом точности осциллографа, составляет 10%.

3. Найти добротность Q по формуле (13.4) и коэффициент затухания: β=Λ/Тэксп. Результаты занести в табл. 13.3.

Контур с

С1

Контур с

С2

4. Вычислить энергию, запасенную в колебательном контуре, используя для этого экспериментальные данные табл. 13.1. В момент времени t = 0, когда напряжение на конденсаторе достигает максимального (амплитудного) значения Uа0, полная энергия колебаний равна энергии заряженного конденсатора и может быть вычислена по формуле W0=CUа02/2. Аналогично в моменты времени t=mT энергию колебаний можно найти по формуле

87

Wm=CUаm2/2. Найти экспериментальные значения отношения Wm/ W0. Результаты занести в табл. 13.1. При округлении результатов измерения Uаm и Wm учесть, что погрешность при измерении напряжений, связанная с классом точности осциллографа, составляет 10%.

5. Найти теоретические значения отношения Wm/ W0. Из формулы (13.5) следует, что в моменты времени t=mT, энергия коле-

баний равна W (t)=W0e−2βТm =W0e−2Λm . Отсюда теоретическое значение отношения Wm/W0 вычисляется по формуле Wm/ W0=е-2Λm. Полученные результаты занести в табл. 13.1

6.Построить графики зависимости энергии колебаний от времени (для контуров с первым и вторым конденсатором). По оси абсцисс отложить t/T, no оси ординат – теоретические значе-

ния Wm/W0. Теоретические значения Wm/W0 взять из табл. 13.1 для шести значений t/Т (t/Т = 0, 1, 2, 3, 4, 5). На эти же графики нанести экспериментальные значения Wm/W0.

7.Найти относительное уменьшение энергии колебаний за

период. Теоретическое значение W/W вычислить по формуле (13.6) для контуров с первым и вторым конденсатором. Результаты занести в табл. 13.3.

Контрольные вопросы

1.Описать процессы, происходящие в колебательном контуре. При каких условиях в нем возникают затухающие колебания? Привести уравнение и график затухающих колебаний.

2.Каков физический смысл коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания, добротности контура?

3.Как энергия затухающих колебаний зависит от времени? Почему она уменьшается?

4.Объяснить принцип действия осциллографа. Почему на экране осциллографа можно наблюдать зависимость U(t)?

Библиогр,: [2],Гл XXII, § 22.1; [4] гл. XX, §§234—234; [6] гл. XIII,

88

П Р И Л О Ж Е Н И Е 1

Баллистический гальванометр и баллистический метод измерения зарядов

Баллистический гальванометр применяется для измерения электрических зарядов при кратковременных импульсах тока, а также электрических и магнитных величин, значения которых пропорциональны заряду. Он является прибором магнитоэлектрической системы.

В поле постоянного магнита подвешена рамка из N витков. В отсутствие тока нормаль к плоскости рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции. При протекании тока I через обмотку рамки на нее действует вращающий мо-

мент сил Ампера M1 = ISNB , где S – площадь, ограниченная витком; В –

индукция магнитного поля между полюсами постоянного магнита. Рамка поворачивается, при этом закручивается нить подвеса и возникает момент сил кру-

чения М2, который пропорционален углу φ поворота рамки: M 2 = −Kϕ, где К

– момент сил кручения, возникающий в нити при повороте на единицу угла. Если импульс тока протекает в цепи за промежуток времени τ, малый по

сравнению с периодом Т свободных колебаний рамки, то движение рамки начинается после протекания тока через гальванометр. Поэтому уравнение движения за время t < τ имеет вид

где J – момент инерции рамки; d 2ϕ – угловое ускорение. dt2

Проинтегрируем уравнение (П.1) от t = 0 до момента t = τ (момента окончания импульса тока):

dϕ – угловая скорость рамки гальванометра. dt

За время импульса τ рамка приобретает кинетическую энергию

Эта энергия затрачивается на закручивание нити подвеса. Работа, которую нужно совершить для поворота рамки на угол φ0, может быть вычислена по формуле

Из формул (П.2) и (П.3) получаем

89

где Cб' – баллистическая постоянная гальванометра, Кл/рад.

Таким образом, электрический заряд q пропорционален первому максимальному отклонению φ0 рамки от положения равновесия. Из формулы (П.4)

видно, что Cб' зависит от величины индукции магнитного поля (В), характери-

стик рамки (S и N), момента инерции (J) подвижной системы и упругих свойств нити (К). Формула (П.4) выведена в предположении об отсутствии торможения. Практически рамка после пропускания кратковременного тока совершает затухающие колебания. Чтобы рамка быстрее вернулась в положение равновесия, нужно замкнуть гальванометр накоротко. Тогда происходит электромагнитное торможение (в обмотке рамки возникают индукционные токи такого направления, что силы Ампера препятствуют движению рамки).

Так как практически отклонение рамки всегда отсчитывается по линейной шкале, то баллистическую постоянную удобно выражать через смещение α0

светового указателя («зайчика») по шкале гальванометра: Cб = qα0 , где Сб –

баллистическая постоянная; q – заряд, протекший через гальванометр; α0 – первое максимальное отклонение «зайчика» от положения равновесия. Зная баллистическую постоянную гальванометра Сб, можно измерить заряд q, протекший через гальванометр за промежуток времени, малый по сравнению с периодом колебаний рамки гальванометра. В этом заключается баллистический метод измерения зарядов.

П Р И Л О Ж Е Н И Е 2

Компенсационный метод измерений

Компенсационный метод является удобным и точным методом измерения ЭДС, напряжений и сопротивлений. Он широко применяется в современной измерительной технике. Компенсационная схема представлена на рисунке. Вспомогательный источник с ЭДС, превосходящей ЭДС источника εх, поддерживает рабочий ток в цепи АВСD. Для установления рабочего тока I служат нормальный элемент εN (его ЭДС известна с большой точностью) и регулировочное сопротивление r.

Исследуемый источник εх и нормальный элемент εN с помощью переключателя П могут попеременно подключаться в цепь чувствительного нульгальванометра. Вначале устанавливают рабочий ток I. Для этого переключатель П переводят в положение К и с помощью регулировочного сопротивления r изменяют силу рабочего тока до тех пор, пока ток через гальванометр не станет равным нулю.

90