Тема 8: Элементы спектральной теории

V3

Собственные вектора оператора A : C[ -π; π ] → C[-π; π] , Ax( t ) = x(-t ), соответствующие собственному значению λ =-1

1

Sin t

1

t

1

t³

0

Cos t

0

t²

0

Exp(t)

0

Ln ( t )

0

t⁴

V3

Собственные вектора оператора A : C[ -π; π ] → C[-π; π] , Ax( t ) = x(-t ), соответствующие собственному значению λ =1

1

Cos t

1

t²

1

t⁴

0

Sin t

0

t

0

t³

0

Exp(t)

0

Ln ( t )

V3

Пусть A : X → X линейный оператор и A^-1 существует, тогда A и A^-1

1

имеют одни и те же собственные векторы

1

Замкнуты одновременно

1

Ограничены , если Х – банахово пространство и область значения R(A) = X

0

Вполне непрерывны

0

самосопряженные

0

непрерывные

0

неограничены

0

Разрывные

V3

Неподвижная точка оператора A : R¹ → R¹, Ax =x³

1

0

1

1

1

-1

0

5

0

-5

0

6

0

7

0

-7

V3

Прообраз элемента t ² C[0; 1] при отображении A : C[ 0; 1 ] → C[0; 1] ,

Ax( t ) = t² x(0 )

1

Любая непрерывная на [ 0; 1 ]функция, удовлетворяющая условию x(0)=1

1

x(t)= 1+ t

1

x(t)= Cos t

0

x(t)= t²

0

x(t)= 4t -7

0

x(t)= Sin t

0

x(t)= Ln(t +1)

0

x(t)= 1+ exp(t)

V3

Ортогональные вектора в гильбертовом пространстве L2[ -π; π ]

1

{ cos nt} , n N

1

{ sin nt} , n N

1

{ 1, sin nt, cos nt} , n N

0

{ t, sin nt} , n N

0

{tg nt} , n N

0

{ t²ⁿ } , n N

0

{ t^2n-1 } , n N

0

{ t⁴ⁿ } , n N

V3

Равномерно сходящаяся последовательности операторов {A_n } L(X, Y) к оператору A L(X, Y)

1

|| A_n - A || →0 , n →

1

|| A_n x - Ax || →0 , n → ,xX

1

M > 0 : || A_n || < M , n

0

|| x_n - x || →0 , n →

0

Не сходится по норме пространства Y

0

M > 0 n : || A_n || > M

0

Не сходится по операторной норме

0

Не сходится по норме пространства Х

V3

Сильно (поточечно) сходящаяся последовательности операторов {A_n } L(X, Y) к оператору A L(X, Y)

1

|| A_n x - Ax || →0 , n → ,xX

1

Ax = A_n x, xX

1

M > 0 : || A_n || < M , n

0

|| x_n - x || →0 , n →

0

Не сходится по норме пространства Y

0

M > 0 n : || A_n || > M

0

|| A_n - A || →0 , n →

0

Не сходится по норме пространства Х