- •Тема 1 : Метрические и топологические пространства
- •Тема 2: Линейные нормированные пространства
- •Тема 3: Гильбертовы пространства
- •Тема 4 : Компактность
- •Тема 5: Линейные операторы и функционалы
- •Тема 6: Основные принципы функционального анализа
- •Тема 7 : Сопряженное и второе сопряженное пространство
- •Тема 8: Элементы спектральной теории
1 уровень
Тема 1 : Метрические и топологические пространства
Вопрос № 1
V3 |
Если d(x, y) метрика, то верна аксиома метрики: |
1 |
d(x,y)=0 тогда и только тогда, когда x = y |
1 |
d(x,y) = d(y,x) |
1 |
d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) |
0 |
d(x,y) ≠ d(y,x) |
0 |
d(x,y) > d(x,z) + d(z,y) |
0 |
d(x,y) < 0 |
0 |
d(x,y) < d(y,x) |
0 |
d(x,y) > d(y,x) |
Вопрос № 2
V3 |
Неравенство Гельдера , |
1 | |
1 | |
1 | |
0 |
≤+ |
0 |
≤+ |
0 |
≤+ |
0 |
|(x,y)| ≥ ||x|| ||y|| |
0 |
|(x,y)| ≥ ||x|| + ||y|| |
Вопрос № 3
V3 |
Неравенство Минковского, |
1 |
≤+ |
1 |
≤+ |
1 |
≤+ |
0 | |
0 | |
0 | |
0 |
|(x,y)| ≥ ||x|| ||y|| |
0 |
|(x,y)| ≥ ||x|| + ||y|| |
Вопрос № 4
V3 |
На множестве M = {a, b, c } задана метрика d такая, что d(a, b) = d(b, c) =1. Какие значения может принимать d(a,c) ? |
1 |
2 |
1 |
[0; 2] |
1 |
1 |
0 |
4 |
0 |
5 |
0 |
12 |
0 |
-5 |
0 |
-7 |
Вопрос № 5
V3 |
На множестве M = {a, b, c } задана метрика d такая, что d(a, b) =1, d(b, c) =2. Какие значения может принимать d(a,c) ? |
1 |
3 |
1 |
[0; 3] |
1 |
1 |
0 |
4 |
0 |
5 |
0 |
12 |
0 |
-5 |
0 |
-7 |
Вопрос № 6
V3 |
На множестве X={a, b, c } задана метрика d такая, что d (a ,b) = 2, d (b,c) = 3 . Какие значения может принимать d (a,c) ? |
1 |
[0; 5] |
1 |
[1; 3] |
1 |
[0;2] |
0 |
[-1; 0) |
0 |
[6; 8] |
0 |
[10;12] |
0 |
[5; 6] |
0 |
[-2; -1] |
Вопрос № 7
V3 |
На множестве X={a, b, c } задана метрика d такая, что d (a ,b) = 5, d (b,c) = 3 . Какие значения может принимать d (a,c) ? |
1 |
[0; 8] |
1 |
[1; 7] |
1 |
[0;2] |
0 |
[-1; 0) |
0 |
[16; 18] |
0 |
[10;12] |
0 |
[25; 36] |
0 |
[-2; -1] |
Вопрос № 8
V3 |
Открытое множество - |
1 |
любая его точка внутренняя |
1 |
объединение любого (конечного или бесконечного) числа открытых множеств |
1 |
пересечение конечного числа открытых множеств |
0 |
любая его точка внешняя |
0 |
любая его точка граничная |
0 |
пересечение любого числа замкнутых множеств |
0 |
объединение конечного числа замкнутых множеств |
0 |
содержит все свои предельные точки |
Вопрос № 9
V3 |
Открытое множество : |
1 |
Его дополнение до всего пространства замкнуто |
1 |
Открытый шар Sr (a)= {x X | d(x, a) < r } |
1 |
Интервал (a;b) |
0 |
Множество рациональных чисел |
0 |
Полуинтервал [a; b) |
0 |
Сегмент [a; b] |
0 |
Множество иррациональных чисел |
0 |
Множество натуральных чисел |
Вопрос № 10
V3 |
Замкнутое множество - |
1 |
содержит все свои предельные точки |
1 |
пересечение любого (конечного или бесконечного) числа замкнутых множеств |
1 |
объединение конечного числа замкнутых множеств |
0 |
любая его точка внешняя |
0 |
любая его точка внутренняя |
0 |
объединение любого числа открытых множеств |
0 |
пересечение конечного числа открытых множеств |
0 |
объединение счетного числа замкнутых множеств |
Вопрос № 11
V3 |
Замкнутое множество: |
1 |
Его дополнение до всего пространства открыто |
1 |
Совпадает со своим замыканием |
1 |
Сегмент [a; b] |
0 |
Полуинтервал [a; b) |
0 |
Множество иррациональных чисел |
0 |
Множество натуральных чисел |
0 |
Интервал (a;b) |
0 |
Множество рациональных чисел |
Вопрос № 12
V3 |
Если Х – банахово пространство, то |
1 |
Х – линейное пространство |
1 |
В Х любая фундаментальная последовательность сходится |
1 |
Х - метрическое пространство |
0 |
Х- гильбертово пространство |
0 |
Х – евклидово пространство |
0 |
Х- бесконечномерное пространство |
0 |
Х- конечномерное пространство |
0 |
Х- не полное |
Вопрос № 13
V3 |
Если Х – банахово пространство, то |
1 |
Х – линейное пространство |
1 |
{ xn } X : || xn – xm || → 0 при n, m →xX : || x – x || → 0при n → |
1 |
Х – нормированное пространство |
0 |
Х- гильбертово пространство |
0 |
Х – евклидово пространство |
0 |
Х- бесконечномерное пространство |
0 |
Х- конечномерное пространство |
0 |
Х- не полное |
Вопрос № 14
V3 |
Если τ = {Gα } топология в Х , то |
1 |
Х τ, τ |
1 |
τ - объединение любого числа множеств из τ принадлежит τ |
1 |
τ - пересечение конечного числа множеств из τ принадлежит τ |
0 |
τ - пересечение любого числа множеств из τ принадлежит τ |
0 |
X \ τ - дополнение объединения любого числа множеств из τ принадлежит τ |
0 |
X τ |
0 |
τ |
0 |
X\ G τ, G τ |