Тема 2: Линейные нормированные пространства

V3

Если X линейное пространство, то для x,y,z X, λ , μ R¹ верна аксиома линейного пространства:

1

( x + y) +z = x + ( y + z)

1

(λ + μ) x= λx + μx

1

x + y = y +x

0

x + y < y +x

0

x + y > y +x

0

(λμ)x ≠ λ(μx)

0

1∙x =0

0

0 + x = -x

V3

Если || x || норма, то

1

|| x || ≥ 0; || x || = 0 тогда и только тогда, когда x = 0

1

|| λ x || = |λ | ∙ || x ||

1

|| x + y|| ≤ || x || + || y ||

0

|| x || < 0

0

|| λ x || = |5 λ | ∙ || x ||

0

|| x + y|| > || x || + || y ||

0

x XλR¹ : || λ x || > |λ | ∙ || x || ,

0

|| λ x || < |λ | ∙ || x ||

V3

Множества , составляющие линейное пространство

1

непрерывные на [a; b] функции

1

всевозможные наборы из m действительных чисел

1

Сходящиеся последовательности

0

Многочлены степени k =2

0

непрерывные на [0; 1] функции , удовлетворяющие условию x( 0 ) =1

0

Монотонные на [a; b] функции

0

непрерывные на [0; 1] функции , удовлетворяющие условию

0

Решения уравнения x’ (t ) =1

V3

Множества , составляющие линейное пространство

1

непрерывные на [a; b] функции

1

Совокупность всех векторов плоскости

1

Ограниченный последовательности

0

Многочлены степени k =2

0

непрерывные на [0; 1] функции , удовлетворяющие условию x( 0 ) =1

0

Монотонные на [a; b] функции

0

Периодические функции

0

Решения уравнения x’ (t ) =1

V3

Банаховы пространства

1

C[a; b]

1

L2[a; b]

1

0

- пространство непрерывных функций с интегральной нормой

0

Q - множество рациональных чисел

0

P[a; b] – множество всех многочленов на [a; b]

0

P_Q [a; b] - множество всех многочленов с рациональными коэффициентами на [a; b]

0

- пространство непрерывных функций с интегральной нормой

V3

Банаховы пространства

1

C1[a; b] - непрерывно дифференцируемые на [a; b] функции

1

L1[a; b]

1

R¹ – множество действительных чисел

0

- пространство непрерывных функций с интегральной нормой

0

Q - множество рациональных чисел

0

P[a; b] – множество всех многочленов на [a; b]

0

P_Q [a; b] - множество всех многочленов с рациональными коэффициентами на [a; b]

0

- пространство непрерывных функций с интегральной нормой

V3

Если последовательность { x_n }X сходится в линейном нормированном пространстве X ( x_n → a , n → ∞ ) , то она

1

ограничена

1

Имеет единственный предел a

1

Для любого ε >0 найдется номер N(ε) так, что || x_n – a || < ε , n ≥ N

0

Не ограничена

0

Найдется b ≠ a , bX такой, что x_n → b , n → ∞

0

Для любого натурального n =1,2,… найдется ε > 0 так, что || x_n – a || > ε

0

В любой окрестности а нет точек последовательности { x_n }

0

Любая подпоследовательность последовательности { x_n } не сходится к а

V3

Если A : X à X сжимающее отображение полного метрического пространства X в себя, тогда коэффициент α из ρ(Ax, Ay) ≤ α ρ(x, y) может принимать значение

1

0 < α < 1

1

0,3

1

0,8

0

4

0

2

0

1

0

9

0

5