- •Тема 1 : Метрические и топологические пространства
- •Тема 2: Линейные нормированные пространства
- •Тема 3: Гильбертовы пространства
- •Тема 4 : Компактность
- •Тема 5: Линейные операторы и функционалы
- •Тема 6: Основные принципы функционального анализа
- •Тема 7 : Сопряженное и второе сопряженное пространство
- •Тема 8: Элементы спектральной теории
Тема 4 : Компактность
Вопрос № 35
V3 |
X - компактное метрическое пространство |
1 |
полное и для любого ε > 0 в X существует конечная ε-сеть |
1 |
Из любой последовательности точек X можно выбрать сходящуюся подпоследовательность |
1 |
Любое бесконечное подмножество в X имеет хотя бы одну предельную точку |
0 |
Не полное |
0 |
Любое бесконечное подмножество в X не имеет предельных точек |
0 |
ε > 0 такое, что в Х не существует конечная ε-сеть |
0 |
гильбертово |
0 |
евклидово |
Тема 5: Линейные операторы и функционалы
Вопрос № 36
V3 |
Если A : X à Y линейный оператор, то |
1 |
D(A) – линейное многообразие |
1 |
A(x + y) = Ax + Ay, x, yX |
1 |
A(λx )= λ Ax , xX ,λR1 |
0 |
A(-x) = Ax, xX |
0 |
A(x + y) > Ax + Ay , x, yX |
0 |
A(x + y) < Ax + Ay, x, yX |
0 |
A(λx )= - λ Ax |
0 |
A0 < 0 |
Вопрос № 37
V3 |
Если A : X à Y линейный оператор, то |
1 |
A0=0 |
1 |
A(x + y) = Ax + Ay, x, yX |
1 |
A(-x )= - Ax , xX |
0 |
A(-x) = Ax, xX |
0 |
A(x + y) > Ax + Ay , x, yX |
0 |
A(x + y) < Ax + Ay, x, yX |
0 |
A(λx )= - λ Ax |
0 |
A0 < 0 |
Вопрос № 38
V3 |
Если A : X à Y линейный оператор, то |
1 |
D(A) – линейное многообразие |
1 |
A(αx + βy) = αAx + βAy, x, yX,α, βR1 |
1 |
A(-x )= - Ax , xX |
0 |
A(-x) = Ax, xX |
0 |
A(x + y) > Ax + Ay , x, yX |
0 |
A(x + y) < Ax + Ay, x, yX |
0 |
A(λx )= - λ Ax |
0 |
A0 > 0 |
Вопрос № 39
V3 |
A : C[0;1] → C[0; 1] линейный оператор |
1 |
Ax(t) = 3x(t) |
1 |
Ax(t) = dx/dt |
1 |
Ax(t) = |
0 |
Ax(t) = x2(t) |
0 |
Ax(t) = x3(t)
|
0 |
Ax(t) = exp(x (t)) |
0 |
Ax(t) = ln x(t) |
0 |
Ax(t) = sin x(t) |
Вопрос № 40
V3 |
A : L1[-1;1] → L1[-1; 1] линейный оператор |
1 |
Ax(t) = 5x(t) |
1 |
Ax(t) = dx/dt |
1 |
Ax(t) = |
0 |
Ax(t) = x2(t) |
0 |
Ax(t) = x3(t)
|
0 |
Ax(t) = exp(x (t)) |
0 |
Ax(t) = ln x(t) |
0 |
Ax(t) = sin x(t) |
Вопрос № 41
V3 |
A : L2[0;1] → L2[0; 1] линейный оператор |
1 |
Ax(t) = x(t) – x(0) |
1 |
Ax(t) = dx/dt |
1 |
Ax(t) = |
0 |
Ax(t) = x2(t) |
0 |
Ax(t) = x3(t)
|
0 |
Ax(t) = exp(x (t)) |
0 |
Ax(t) = ln x(t) |
0 |
Ax(t) = sin x(t) |
Вопрос № 42
V3 |
A : C[0;1] → C[0; 1] нелинейный оператор |
1 |
Ax(t) = x2(t) |
1 |
Ax(t) = exp(x (t)) |
1 |
Ax(t) = |
0 |
Ax(t) = 3x(t) - 1 |
0 |
Ax(t) = x(t) + 2
|
0 |
Ax(t) = dx/dt |
0 |
Ax(t) = |
0 |
Ax(t) = |
Вопрос № 43
V3 |
Если A : X Y линейный непрерывный оператор, то он |
1 |
Ограничен |
1 |
Непрерывен в точке 0 |
1 |
сходящуюся последовательность пространства X переводит в сходящуюся последовательность пространства Y |
0 |
Не ограничен |
0 |
A(-x) = Ax |
0 |
A(λx ) > λ Ax |
0 |
A(x + y) < Ax + Ay |
0 |
Непрерывен в точке 0, но разрывен в остальных точках пространства Х |
Вопрос № 44
V3 |
Неограниченный линейный оператор |
1 |
A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) = |
1 |
A : C[0; 2] → C[0; 2] , Ax(t) = |
1 |
A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) =dx/ dt |
0 |
A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) = 2 x(t) -1 |
0 |
A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) = |
0 |
A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) = 0,5 x( t ) |
0 |
A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) = |
0 |
A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) =- x( t ) |
Вопрос № 45
V3 |
Неограниченный линейный оператор |
1 |
A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) = |
1 |
A : C[0; 2] → C[0; 2] , Ax(t) = |
1 |
A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) =dx/ dt |
0 |
A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) = x(t) |
0 |
A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) = |
0 |
A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) = sin t · x( t ) |
0 |
A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) = |
0 |
A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) = x( t ) |
Вопрос № 46
V3 |
Oграниченный линейный оператор |
0 |
A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) = |
0 |
A : C[0; 2] → C[0; 2] , Ax(t) = |
0 |
A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) =dx/ dt |
1 |
A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) = x(t) |
1 |
A : L2[0; 1] → L2[0; 1] , Ax(t) = |
1 |
A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) = sin t · x( t ) |
0 |
A : C[0; 2] → C[0; 2] , Ax(t) = |
0 |
A : C[0; 1] → C[0; 1] , Ax(t) = x( t ) / (t-1) |
Вопрос № 47
V3 |
Норма || A || оператора |
1 | |
1 | |
1 | |
0 | |
0 | |
0 | |
0 |
max || x || |
0 |
|| Ax|| + || x || |
Вопрос № 48
V3 |
Норма || A || пространства линейных непрерывных операторов L(X, Y) |
1 | |
1 | |
1 | |
0 | |
0 | |
0 | |
0 |
max || x || |
0 |
|| Ax|| + || x || |
Вопрос № 49
V3 |
Если f - линейный функционал, определенный на линейном нормированном пространстве Х, то |
1 |
D(f ) – линейное многообразие |
1 |
x,y D( f ) f(x + y) = f(x) + f(y) |
1 |
xD( f ) ,αR1 f (α x)=α f(x) |
0 |
x,y D( f ) f(x + y) < f(x) + f(y) |
0 |
Если xn → x , то f(xn ) → f(x) при n → |
0 |
M > 0 : | f(x) | ≤ M || x || , xD( f ) |
0 |
Ограниченный функционал |
0 |
неограниченный |
Вопрос № 50
V3 |
Если f - линейный непрерывный функционал, определенный на линейном нормированном пространстве Х, то |
1 |
Если xn → x , то f(xn ) → f(x) при n → |
1 |
M > 0 : | f(x) | ≤ M || x || , xD( f ) |
1 |
Ограниченный функционал |
0 |
неограниченный |
0 |
Если xn → 0 , то f(xn ) → 7 при n → |
0 |
M > 0 x D( f ) : | f(x) | > M |
0 |
x,y D( f ) f(x + y) < f(x) + f(y) |
0 |
x D( f ) f(-x) = f(x) |
Вопрос № 51
V3 |
Норма || f || функционала |
1 | |
1 | |
1 | |
0 | |
0 | |
0 | |
0 |
max || x || |
0 |
| f(x)| + || x || |