Вольдман - фхтс часть 1 (2007)

3

3

–

–

3

3/4

,

[ Mei

т + Mei

нс][(e )т + (e )нс]

= KФ(Ме) PX2

1/2

–

1/2

–

3

3/4

.

[KФ

+ (e )нс/3][Kи

+ (e )нс]

= KФ(Ме) PX2

При понижении P0

(e–)нс растет, но на величине сумм, стоящих в квадратных

X2

незначительном отклонении P

от P0 (e–)нс > (e–)т. Следовательно, при любых

X2

X2

P

<P0 можно принимать (e–) =

(e–)нс. В связи с этим в дальнейшем во второй

X2

X2

концентрация тепловых, лишь при

P

<<P0

. Поэтому в первой квадратной скобке

X2

X2

оставляем оба слагаемых.

Соответственно получаем:

1/2

–

– 3

= KФ(Ме)

3/4

.

(65)

[KФ

+ (e )/3](e )

PX2

При малых отклонениях

P

от

P0 ( P

P0 )

K1/2 > (e–)/3, а при больших

X2

X2

X2

X2

Ф

( P

<<P0 )

K1/2 < (e–)/3; граница между областями малых и больших отклонений –

X2

X2

Ф

давление металлоида PX2 , при котором KФ1/2

= (e–)/3, или (e–) = 3KФ1/2 , lg(e–) =

1

lgKФ +

2

Малые отклонения PX2

0

0

от PX2

(PX2 ≤ PX2 ≤PX2 ):

Me3 т >

Me3 нс,

т. е.

K1/2 >(e–)/3;

концентрация катионов в междоузлиях в

i

i

Ф

области малых отклонений давления остается постоянной, равной KФ1/2 (такой же,

0

), и lg Mei3

=

1

как при

PX2

lgKФ.

2

Из уравнения (65) получаем:

1/2

– 3

= KФ(Ме)

3/4

,

KФ

(e )

PX2

–

KФ(Ме) 1/3

1/4

(e ) =

PX2

,

1/2

KФ

lg(e–) =

1

lg

KФ(Ме)

–

1

lgP .

3

KФ1/2

4

X2

61

понадобится.

Mei3

= (e–)/3,

lg Mei3 = lg(e–) – lg3 = {

1

lg[3KФ(Ме)] –lg3} –

3

lgPX2

= const –

3

lgPX2 ;

4

16

16

это уравнение прямой, начинающейся в точке (lgP

;

1

lgKФ)

на границе между

2

X2

областями

и проходящей параллельно прямой lg(e–)

= f(lgP ) на

lg3

ниже

X2

последней.

Зависимости для VMe3 и (е ):

VMe3 = KФ/ Mei3 ,

lg V 3 = lgKФ – lg Me3 = {lgKФ

–

1

lg[3KФ(Ме)] + lg3} +

3

lgPX

= const +

3

lgPX

;

16

2

16

Me

i

4

2

(lgP ;

1

lgKФ);

поскольку

V 3

обратно

пропорциональна

Me3 , угловой

2

X2

Me

i

коэффициент прямой lg VMe3 = f(lgPX2

) равен по величине и противоположен по знаку

угловому коэффициенту прямой lg Mei3 = f(lgPX2

).

(е ) = Kи/(е );

lg(е ) = lgKи – lg(е ) = lgKи – [const –

3

lgP ] =

16

X2

= [lgKи – const] +

3

lgP

= const +

3

lgP ;

16

X2

16

X2

прямая выходит из точки, соответствующей значению lg(е ) при

P

(на границе

X2

между областями).

0

Кристалл с избытком металлоида (PX2 >PX2 )

3

X20 ↓ 3e+ + VMe3 ,

4

+ 3

3

= KФ(Х)

3/4

.

(IIIб)

(е )

VMe

PX2

Значение константы равновесия KФ(Х)

можно вычислить по выведенной ранее

формуле

KФ(Х) =

K3K

Ф

,

и

KФ(Ме)

но при построении приближенной зависимости необходимости в этом нет.

В уравнении (IIIб)

V3 = V3 т + V3

нс,

Me

Me

Me

причем V3

т =

K1/2 , а

V3 нс , как видно из уравнения реакции, равна (e+)нс/3.

Me

Ф

Me

63

1/2

+

+ 3

3/4

.

(66)

[KФ + (e )/3](e )

= KФ(Х) PX2

При малых отклонениях P

от

P0

( P

P0

) K1/2 >

(e +)/3, а при больших

X2

X2

X2

X2

Ф

( P

>>P0 )

K

1/2 < (e+)/3; граница между областями малых и больших отклонений –

X2

X2

Ф

давление металлоида PX2

, при котором KФ1/2 = (e+)/3, или (e+) = 3KФ1/2 , lg(e+) =

1

lgKФ +

2

lg3;

концентрация дырок при давлении металлоида PX2 такая же, как концентрация

электронов при другом граничном давлении –

PX2 .

0

0

≤PX2

):

Малые отклонения PX2 от PX2 (PX2 ≤ PX2

V3 т

>

V

3

нс

т. е.

K1/2 >(e+)/3;

концентрация вакансий катионов в области

Me

Me

Ф

малых отклонений давления остается постоянной,

равной

KФ1/2

(такой же,

как при

P0 ), и lg V3

=

1

lgKФ

(это

та же

горизонтальная прямая,

что

в области

малых

X2

Me

2

отклонений при P

<

P0 ).

X2

X2

Из уравнения (66) получаем:

1/2

+ 3

3/4

,

KФ (e )

= KФ(Х) PX2

+

KФ(X) 1/3

1/4

(e ) =

PX2

,

1/2

KФ

lg(e+) =

1

lg

KФ(Ме)

+

1

lgP = const +

1

lgP .

3

KФ1/2

4

X2

4

X2

Эта прямая имеет такой же угловой коэффициент, как прямая lg (e+) = f(lgP )

X2

в области малых отклонений при P

<

P0

и выходит из той же точки (lgP0 ,

1

lgKи),

2

X2

X2

X2

т. е. является ее продолжением.

Если V

3

=

K

1/2 , то и Me3

= K1/2

и lg Me3

=

1

lgKФ – та же горизонтальная

2

Me

Ф

i

Ф

i

прямая, что и в области малых отклонений при P

<P0

).

X2

X2

С учетом того, что (e–) обратно пропорциональна (е ), получаем:

lg(e–) = const –

1

lgP

4

X2

(эта прямая также является продолжением зависимости lg(e-) =

f(lgP ) в области

X2

малых отклонений при P

2

<P0 ).

X

X2

64

Большие отклонения PX2

0

( PX2 PX2 ):

от PX2

V3 нс > V3 т, т. е. V3

= V3 нс = (e+)/3; из уравнения (66) получаем:

Me

Me

Me

Me

координатами (lgPX2

;

1

lgKФ+lg3), вычислять свободный член в уравнении прямой не

2

понадобится.

VMe3 = (e+)/3,

lg V 3 = lg(e+) – lg3 = {

1

lg[3KФ(X)] –lg3} +

3

lgPX

= const +

3

lgPX

;

Me

4

16

2

16

2

это уравнение прямой, начинающейся в точке (lgPX2 ;

1

lgKФ)

на границе между

2

областями и проходящей параллельно прямой

lg(e+)

=

f(lgP )

на lg3 ниже

X2

последней.

Зависимости для Mei3 и (е–):

Mei3 = KФ/ VMe3 ,

lg Me3 = lgKФ

– lg V 3 = {lgKФ

–

1

lg[3KФ(X)] + lg3} –

3

lgPX

=

i

Me

4

16

2

= const –

3

lgP ;

16

X2

(lgPX ;

1

lgKФ); поскольку

Me3

обратно

пропорциональна

V

3 , угловой

2

2

i

Me

коэффициент прямой lg Mei3 = f(lgPX2

) равен по величине и противоположен по знаку

угловому коэффициенту прямой lg VMe3 = f(lgPX2

).

(е ) = Kи/(е );

lg(е ) = lgKи – lg(е ) = lgKи – [const +

3

lgP

] =

16

X2

= [lgKи – const] –

3

lgP = const –

3

lgP ;

16

16

X2

X2

прямая выходит из точки, соответствующей значению lg(е ) при

P

(на границе

X2

стороны от lgP0

на ΔlgP

= 30÷40; поскольку lgP0 = -36, принимаем минимальное

X2

X2

X2

2. Проводим через точку на оси абсцисс lgP = lgP0

= -36 ось ординат; при

X2

X2

выборе интервала значений ординат можно исходить

из

того, что точка (lgP0 ,

X2

максимальное -2.

3. Наносим на ось ординат (т. е. при lgP =

lgP0 ) точки,

соответствующие

X2

X2

концентрациям тепловых дефектов:

lg Me3 = lg

V3- =

1

lgKФ = -6 и lg(е ) = lg(е ) =

1

lgKи = -10.

2

2

i

Me

Наносим также точку, соответствующую концентрациям электронов

проводимости и дырок на границах между областями: lg e- P =lg e P = -5,523.

X2

X2

4. Для того, чтобы найти положение границ

между областями малых и

больших отклонений давления от P0 , нужно определить, при каких значениях lgP

X2

X2

lg(е–) и lg(е ) достигнут значения lg e- P

=lg e

P = -5,523.

X2

X2

Это легко сделать графически: lgP

и

lgP – абсциссы точек пересечения

X2

X2

коэффициент соответствующей зависимости. В нашем случае

lgP

– lgP0

= [-5,523 – (-10)]/(-1/4) = -17,91, lgP = -53,91;

X2

X2

X2

lgP

– lgP0

= [-5,523 – (-10)]/(1/4) = 17,91, lgP = -18,09.

X2

X2

X2

Из точек на оси абсцисс с найденными значениями lgP

и lgP проводим

X2

X2

= f(lgP ) в областях малых отклонений P

от P0 . Продлеваем прямые lg(е ) =

X2

X2

X2

f(lgP

) и lg(е ) = f(lgP

) до границ областей соответственно lgP

и lgP .

X2

X2

X2

X2

-2

3

-4

4

1

2

5

-6

2

-8

1

-10

-12

-14

4

lg P

-16

lg P

3

lg P0

X2

-18

X2

X2

-70

-60

-50

-40

lg P

-30

-20

-10

0

X2

0

Расчет концентраций тепловых дефектов и значения PX2

При P

=P0 (см. п. 2.4.3):

X2

X2

V2

тепл

= [(3/2)2K ]1/5 = 1,5·10-8, lg V2

тепл

= -7,82;

X

Ш

X

VMe3 тепл

= [(2/3)3KШ]1/5 = 1,0·10-8, lg VMe3 тепл = -8;

(е )тепл

= (е )тепл = Kи1/2

= 1·10-14, lg(е )тепл = lg(е )тепл = -14.

0

KШ(Ме)

2

1,5 10 60

2

-48

0

P

=

=

= 1·10

; lgP

= -48.

K

V2

X2

10

28 1,5 10 8

X2

и

X тепл

Определение концентраций дефектов при

0

PX2 ≠PX2

0

)

Кристалл с избытком металла (PX2 <PX2

0

1

X20 ↑ + 2e– +VX2 ;

2

константа равновесия

2

– 2

1/ 2

(IIIа),

VX

(e )

= KШ(Ме) PX2

Как было показано раньше, даже при малых отклонениях P

от P0

(e–)нс > (e–

X2

X2

)т,

и

при

любых

P

<P0

можно

принимать

X

2

X2

(e–) = (e–)нс.

Подставив VX2 и (e–) в уравнение (IIIа) и выразив VX2 т через KШ, а VX2 нс –

через (e–), получим:

2

1/5

–

– 2

1/2

.

(67)

{[(3/2) KШ] + (e )/2}(e )

= KШ(Ме) PX2

При

малых

отклонениях

P

от P0

(P

P0

)

[(3/2)2KШ]1/5>(e–)/2, а

при

X

2

X2

X2

X2

больших ( P

<<P0

) V2

т

= [(3/2)2K ]1/5<(e–)/2; граница между областями малых и

X2

X2

X

Ш

больших отклонений – давление металлоида

P

, при котором V

2

т

2

1/5

=

= [(3/2) K ]