фхтс гвелесиани
.pdf
Министерство образования и науки РФ
Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова
Кафедра физики и химии твердого тела
Гвелесиани А.А.
Физика и химия твердофазных систем Часть 1
Учебное пособие
2012
http://www.mitht.ru/e-library
ББК 22.379 УДК 539.2:541.1:546
Рецензент к.х.н., доц. Зиновьев В.Г. (МИТХТ, кафедра материалов микро-, опто- и наноэлектроники)
Гвелесиани А.А.
Физика и химия твердофазных (полупроводниковых) систем, ч.1. Учебное пособие М.; МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2012, С.68, илл. 12
Утверждено Библиотечно-издательской комиссией МИТХТ им. М.В. Ломоносова в качестве учебного пособия.
Поз. /2012.
Данное учебное пособие является дополнением к существующим учебникам и отражает часть разделов лекций, по учебной дисциплине «Физика и химия твердофазных систем» для студентов, обучающихся по образовательной программе подготовки бакалавров 150600 «Материаловедение и технология материалов».
Впособии изложены основные положения статистики электронов и дырок в полупроводниках, расчеты важнейших статистических параметров, анализируются удельная электропроводность и подвижность носителей заряда невырожденных и вырожденных полупроводников, основные механизмы рассеяния носителей заряда в полупроводниках.
Вконце разделов пособия приведены контрольные вопросы и задачи, которые призваны способствовать самостоятельности суждения и анализа процессов и их параметров.
©МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2012
2
http://www.mitht.ru/e-library
Содержание |
|
Введение |
4 |
1. Статистика электронов и дырок в полупроводниках |
5 |
1.1. Статистика свободных электронов и дырок в |
|
разрешенных зонах |
5 |
1.2. Статистика примесных состояний в полупроводниках |
12 |
1.3. Собственный полупроводник |
17 |
1.4. Электронный (донорный) полупроводник |
20 |
1.5. Дырочный (акцепторный) полупроводник |
25 |
Контрольные вопросы и задачи |
27 |
2. Электропроводность полупроводников |
29 |
2.1. Смешанная, собственная и примесная |
|
электропроводности |
30 |
2.2. Механизмы рассеяния носителей заряда в |
|
полупроводниках |
38 |
2.2.1. Рассеяние носителей заряда на ионах примеси |
40 |
2.2.2. Рассеяние носителей заряда на тепловых |
|
колебаниях решетки (фононах) |
42 |
2.2.3. Рассеяние на акустических фононах |
45 |
2.2.4. Рассеяние на оптических фононах |
46 |
2.2.5. Cмешанное рассеяние носителей заряда |
49 |
2.2.6. Температурная зависимость электропроводности |
|
невырожденных полупроводников |
52 |
2.2.7. Электропроводность вырожденных |
|
полупроводников |
57 |
Контрольные вопросы и задачи |
61 |
Физические константы |
64 |
Некоторые параметры важнейших полупроводниковых |
|
материалов |
65 |
Рекомендуемая литература |
66 |
3 |
|
http://www.mitht.ru/e-library
Введение
Учебная дисциплина «Физика и химия твердофазных (полупроводниковых) систем» является одной из базовых для многих специальных дисциплин материаловедческого и технологического профиля. Изучение этой дисциплины позволяет устанавливать взаимосвязи состав-структура- свойство в правильных периодических структурах, которые представляют собой кристаллические полупроводники, понимать закономерности поведения материалов в различных условиях и в конечном счете формировать у студентов навыки самостоятельной научной деятельности по созданию новых технологий и материалов, разработки приборов и устройств, основанных на различных физических эффектах.
В данном учебном пособии рассматриваются два фундаментальных раздела: «статистика носителей заряда в полупроводниках» и «электропроводность полупроводников», которые являются физическими основами материаловедения и технологии новых материалов. Изучение этих разделов позволяет студенту в практической деятельности самостоятельно проводить количественный анализ важнейших параметров физических процессов, в первую очередь электропроводности, освоить ряд важнейших расчетов физических параметров, в том числе их температурные зависимости.
Контрольные вопросы, решение задач, а также выполнение лабораторных работ, предусмотренные при изучении данной учебной дисциплины, позволяют еще глубже понять процессы и явления в материалах при внешнем воздействии, освоить расчет важных физических параметров.
4
http://www.mitht.ru/e-library
1. СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
1.1. Статистика свободных электронов и дырок в разрешенных зонах
Раздел «Статистика электронов и дырок в полупроводниках» является важнейшим разделом полупроводникового материаловедения, без усвоения которого невозможно понимание электрических и оптических явлений в этом классе твердых тел.
Основной задачей статистического рассмотрения поведения свободных и связанных носителей заряда является вычисление их равновесных концентраций. В свою очередь решение указанной задачи позволяет выяснить зависимость электрических свойств полупроводника от температуры, ширины запрещенной зоны и от степени легирования. С другой стороны, анализируя температурные зависимости концентраций носителей заряда с помощью статических соотношений можно найти ширину запрещенной зоны, энергетические уровни собственных дефектов и примесных атомов и количественно оценить их содержание.
Распределение электронов по энергетическим подуровням в разрешенных зонах подчиняется принципу Паули. Поэтому, в отличие от классических частиц, которые занимают минимум энергии при низкой температуре, квантовые частицы распределяются по состояниям в соответствии с функцией распределения ( ), которая показывает вероятность заполнения электроном состояния с энергией при данной температуре:
( |
) |
|
(1.1) |
|
|
||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
http://www.mitht.ru/e-library
Соотношение (1.1) носит название функции распределения Ферми-Дирака, которое справедливо для квантовых частиц, подчиняющихся принципу Паули – фермионов. Здесь – абсолютная температура, K; – константа Больцмана, а – электрохимический потенциал электронов или уровень Ферми (энергия Ферми).
Вид функции распределения Ферми-Дирака при К и К представлен на рис.1.1.
Рис.1.1. График функции распределения Ферми-Дирака.
При К функция имеет вид ступени, так как из формулы (1.1) следует, что при энергии электронов Е меньше
энергии |
Ферми |
и все |
уровни |
энергии |
заняты |
|
электронами при всех значениях |
. |
|
|
|
||
При энергии электронов больше энергии Ферми |
|
|||||
и все уровни энергии, лежащие выше энергии Ферми ( |
) |
|||||
свободны. |
|
|
|
|
|
|
При условии равенства энергии электронов и энергии |
||||||
Ферми |
функция распределения |
неопределенна |
и |
|||
принимает любые значения от 0 до 1. |
|
|
|
|||
Таким образом, физический смысл энергии (уровня) |
||||||
Ферми |
при |
К состоит в |
том, |
что ее |
величина |
|
определяет максимально возможную энергию электронов в металлах и полупроводниках.
6
http://www.mitht.ru/e-library
Итак, при К выше уровня Ферми все уровни энергии свободны, ниже уровня Ферми все уровни энергии заняты электронами.
При |
К |
из |
формулы |
(1.1) следует, |
что при |
условии |
, |
при |
всех |
температурах |
⁄ . |
Следовательно, при температурах выше 0 К, уровень Ферми есть такой энергетический уровень вероятность заполнения которого равна 1/2.
При |
функция Ферми-Дирака экспоненциально |
|
стремится от |
1/2 к 1, а при |
от 1/2 к 0, причем |
вероятность заполнения уровней энергии заметно отличается
от 1 или 0 лишь в пределах ( |
) вблизи |
. |
|
Таким образом, при |
К с большой вероятностью, |
||
уровни энергии, лежащие ниже |
заняты электронами, |
||
а лежащие выше |
– свободны. |
|
|
В пределах |
при |
К число |
электронов, |
перешедших в результате теплового движения на более высокие уровни энергии, равно количеству освободившихся
уровней энергии. Например, при |
, f = 0,73, а при |
||
, f = 0,27. |
|
|
|
Электронный газ, в полной мере подчиняющийся |
|||
распределению |
Ферми-Дирака, |
принято |
называть |
вырожденным. Однако, если уровень Ферми расположен
ниже |
уровня дна зоны проводимости |
|
на |
расстоянии |
|
( |
) , то выполняется условие |
( |
|
) |
. В этом |
|
|||||
случае единицей в знаменателе (1.1) можно пренебречь, и формула (1.1) примет вид:
( ) (1.2)
Формула (1.2) является функцией распределения Максвелла-Больцмана, справедливой для классических (невырожденных) систем. Электронный газ, поведение
7
http://www.mitht.ru/e-library
которого удовлетворяет условию (1.2), называется
невырожденным.
На рис.1.1 участок графика при , описывается экспоненциальной функцией распределения Больцмана.
Таким образом, если электронный газ невырожденный, то функцию распределения для квантовых частиц ФермиДирака можно приблизительно заменить на функцию распределения для классических частиц МаксвеллаБольцмана.
Так как на практике большей частью используются полупроводники с невырожденным электронным газом (невырожденные полупроводники), то возможность замены функции Ферми-Дирака на функцию Максвелла-Больцмана значительно упрощает различные теоретические расчеты по статистике электронов в полупроводниках.
Вероятность того, что состояние с энергией |
не |
|||
занято электроном (занято дыркой), есть: |
|
|||
|
|
|
|
(1.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления концентрации свободных электронов в зоне проводимости необходимо просуммировать произведение функции плотности состояний ( ) в зоне и функции ( ) (1.1) по всем состояниям зоны проводимости, т.е. вычислить интеграл в пределах от дна зоны проводимости до ее потолка:
|
∫ ( ) ( ) |
(1.4) |
где |
– дно зоны проводимости, а |
( ) – плотность |
состояний в зоне проводимости, которая зависит от величины
8
http://www.mitht.ru/e-library
эффективной |
массы |
плотности |
состояний для электронов |
|||||||
в степени 3/2 и их энергии в зоне проводимости |
в |
|||||||||
степени 1/2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.5) |
|
( |
) |
( |
|
) ( |
) |
|
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
Плотность состояний ( ) определяют как число состояний в единичном интервале энергии в разрешенной зоне для единичного объема кристалла.
Эффективную массу плотности состояний для электронов определяют как среднегеометрическое 3-х эффективных масс, помноженное на число эквивалентных
минимумов зоны проводимости М в степени 2/3 в - пространстве:
( |
) |
|
|
|
(1.6) |
|
|||||
|
|
||||
|
|
|
|
Здесь – продольная эффективная масса электронов;
–поперечная масса электронов.
Вслучае прямозонных полупроводников область дна
зоны проводимости имеет сферическую симметрию в - пространстве и М = 1, а .
Вслучае непрямозонных полупроводников зона
проводимости в области дна в -пространстве имеет симметрию эллипсоида вращения и , М > 1.
Для кремния М = 6, для германия М = 4, для арсенида галлия М = 1.
Результат интегрирования (1.4) имеет вид:
|
|
⁄ ( ) |
(1.7) |
√ |
|
||
|
|||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
http://www.mitht.ru/e-library
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.8) |
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
⁄ |
( ) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( |
) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
где ⁄ ( ) – интеграл Ферми половинного индекса; |
и |
||||||||||
–безразмерные величины:
–приведенная энергия электрона,
– приведенная энергия Ферми.
Значения ⁄ ( ) для различных приведены в
литературе, например в [1], [2].
Вычисление концентраций свободных дырок в валентной зоне проводят по аналогии с вычислением свободных электронов путем интегрирования от потолка
валентной зоны |
до ее дна: |
|
|
|
∫ ( |
) ( ) |
(1.10) |
Здесь ( |
) – плотность состояний в валентной зоне, |
||
которая зависит от величины эффективной массы плотности состояний для дырки и их энергии в валентной зоне:
10
http://www.mitht.ru/e-library