Geom / AnGeom_14

Эллипс

Гипербола

Гипербола

Определение.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, по абсолютной величине есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами.

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Гипербола

Обозначим:

F1,2 фокусы, 2c расстояние между фокусами,

2a модуль разности расстояний от произвольно точки

M (x, y) гиперболы до фокусов. По условию 2c > 2a c > a. Введем прямоугольную систему Oxy координат так, чтобы ось Ox проходила через фокусы F1,2, а центр системы совпадал с серединой отрезка F1F2. Тогда фокусы F1,2 имеют координаты (±c, 0).

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Гипербола

Пусть M(x, y) произвольная точка гиперболы. Тогда выполнено равенство |F1M − F2M| = 2a, т. е.

qq

(x + c)2 + y2 − (x − c)2 + y2 = ±2a

Преобразуем последнее уравнение.

q 2 q 2

(x + c)2 + y2 = ±2a + (x − c)2 + y2

q

(x + c)2 + y2 = 4a2 ± 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Гипербола

Пусть M(x, y) произвольная точка гиперболы. Тогда выполнено равенство |F1M − F2M| = 2a, т. е.

qq

(x + c)2 + y2 − (x − c)2 + y2 = ±2a

Преобразуем последнее уравнение.

q 2 q 2

(x + c)2 + y2 = ±2a + (x − c)2 + y2

q

(x + c)2 + y2 = 4a2 ± 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Гипербола

Пусть M(x, y) произвольная точка гиперболы. Тогда выполнено равенство |F1M − F2M| = 2a, т. е.

qq

(x + c)2 + y2 − (x − c)2 + y2 = ±2a

Преобразуем последнее уравнение.

q 2 q 2

(x + c)2 + y2 = ±2a + (x − c)2 + y2

q

(x + c)2 + y2 = 4a2 ± 4a (x − c)2 + y2 + (x − c)2 + y2

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Гипербола

q

x2 +2xc+c2 +y2 = 4a2 ±4a (x − c)2 + y2 +x2 −2xc+c2 +y2

q

±a (x − c)2 + y2 = xc − a2

a2((x − c)2 + y2) = (xc − a2)2

a2x2 − 2a2xc + a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2xc + x2c2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Гипербола

q

x2 +2xc+c2 +y2 = 4a2 ±4a (x − c)2 + y2 +x2 −2xc+c2 +y2

q

±a (x − c)2 + y2 = xc − a2

a2((x − c)2 + y2) = (xc − a2)2

a2x2 − 2a2xc + a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2xc + x2c2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Гипербола

q

x2 +2xc+c2 +y2 = 4a2 ±4a (x − c)2 + y2 +x2 −2xc+c2 +y2

q

±a (x − c)2 + y2 = xc − a2

a2((x − c)2 + y2) = (xc − a2)2

a2x2 − 2a2xc + a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2xc + x2c2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Гипербола

q

x2 +2xc+c2 +y2 = 4a2 ±4a (x − c)2 + y2 +x2 −2xc+c2 +y2

q

±a (x − c)2 + y2 = xc − a2

a2((x − c)2 + y2) = (xc − a2)2

a2x2 − 2a2xc + a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2xc + x2c2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Аналитическая геометрия. Лекция 14

Эллипс

Гипербола

Гипербола

q

x2 +2xc+c2 +y2 = 4a2 ±4a (x − c)2 + y2 +x2 −2xc+c2 +y2

q

±a (x − c)2 + y2 = xc − a2

a2((x − c)2 + y2) = (xc − a2)2

a2x2 − 2a2xc + a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2xc + x2c2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Аналитическая геометрия. Лекция 14