Степени и корни

Для любого числа и любого положительного целого числаопределим степень

Распространим степени на отрицательные показатели:

(предполагаем здесь . Имеют место формулы:

Для любого найдется единственное неотрицательное действительное число, квадрат которого равен. Его обозначаюти называют квадратным корнем из. Квадратный корень равенили. Например,. Заметим, чтоне смотря на то, что. Квадратные корни из отрицательных чисел будут числами новой природы (комплексные числа).

Для любого найдется единственное неотрицательное действительное число, n-ая степень которого равен. А именно

Его обозначают и называют корнемn-ой степени из.

Имеют место следующие правила обращения с корнями:

После этого можно определить для любого рационального числа си любогостепень с рациональным показателем

Для такой степени выполняются по-прежнему правила (1).

Если целое число нечетное, то можно определить квадратный корень n-ой степени из отрицательного числакак такое единиственное (отрицательное) число,n-ая степень которого равна. Например,,

Модуль

Число называется абсолютной величиной или модулем числа x. Имеем:

Свойства модуля

М1. или более общо

М2. (неравенство треугольника) или более общо

М3. (непрерывность модуля)

M4.

Знак числа определяется как функцияравная 1, еслии равная, если. Имеем равенство

для любых двух ненулевых чисел.

Длина интервала на числовой прямой

Пусть точки иимеют координатына числовой оси. Тогда длина интервала (отрезка) с концамиивычисляется по формуле

Пример. Расстояние от точкидо точкиравно.

Расширенная область действительных чисел

Присоединим к два элемента --и, полагая, что для всех

Для всех положительных будем считать, что

а для отрицательных --

Полагаем также

Таким образом, неопределенными остаются операции:

Вещественные числа вместе с образуютрасширенную числовую прямую. Можно убедиться, что основные арифметические правила (ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность) остаются верными и для расширенной системы чисел, при условии определенности всех входящих операций.

Пространство строк

Фиксируем натуральное число n. Множество строк длины n с вещественными компонентами обозначим. Их (строки) можно складывать и умножать на числа покомпонентно: