Бесконечные десятичные дроби

Бесконечной десятичной дробью называют бесконечную сумму (т.е. ряд) вида

где все – цифры, а впереди стоит либо знак «+», либо знак «-». При этом конечную десятичную дробь

назовем приближением дроби (1) с точностью . Знак «+» обычно опускают. Более кратко, бесконечную десятичную дробь (1) записывают как

Например, .

Заметим, что рациональные числа изображаются периодическими бесконечными десятичными дробями. Например,

Для представления рационального числа в виде (периодической) бесконечной десятичной дроби мы просто делим уголком числитель на знаменатель. Для того, что бы представить периодическую десятичную дробь в виде рационального числа нужно воспользоваться теоремой о сумме геометрической прогрессии:

Формально, соотношение (3) можно проверить, умножая ряд на знаменатель, раскрывая скобки и убеждаясь, что все сокращается кроме 1. Вопросы сходимости этого ряда и законности процедуры умножения разобраны в главе «Ряды». Например,

Итак, . По этой причине бесконечную дробь видаотождествляют с дробью, где предполагаетсяи.

Определение.Действительным числом назовем бесконечную десятичную дробь с учетом описанного выше отождествления. Совокупность действительных чисел обозначим. Числа из множестваназывают иррациональными.

Например, , т.е.-- иррационально, как было доказано выше.

Координаты на числовой оси

Мы будем считать, что каждой точке на числовой прямой соответствует координата-- действительное число. При этом, еслилежит в положительном направлении от начала координат, тоэто не что иное как длина отрезка. Если жележит в отрицательном направлении от начала координат, то.

Пусть даны два действительных числа и, как координаты точек P и Q. Скажем, что r<s тогда и только тогда, когда P лежит левееQ

Сложение и умножение действительных чисел

Покажем на примере , как складываются две бесконечные десятичные дроби. Имеем:

Складывая приближения с одним, двумя, тремя и т.д. десятичными знаками после запятой, получаем

Получаем приближения бесконечной десятичной дроби 3,146264369941972342…, которая и есть сумма . Перемножаются бесконечные десятичные дроби по тому же принципу – перемножают их все более точные приближения, а затем следят, к какой бесконечной десятичной дроби стремятся эти приближения:

Здесь не так быстро как для сложения получаются «верные» десятичные знаки. Три верных знака мы получили лишь вычислив произведение приближений с точностью до

Умножение распространяется на все действительные числа при помощи правила знаков:

Теорема.Совокупность всех действительных чиселℝобразует поле относительно определенных выше операций сложения и умножения.

Отношение записывается также как. Если-- действительные числа, то

называют соответственно интервалом, отрезком и полуинтервалом.

Для неравенств выполняются такие правила

A.Еслито

Б.Если, ато. Если же, наоборот,

В. Еслиили, то

С.(транзитивность отношения <) Еслии, то

Наибольшее из чисел будем обозначать, а наименьшее --.

Точные верхние и нижние грани

Подмножество A поля действительных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если найдется число , называемое верхней (нижней) границей или гранью такое, что для любогоследует(∀следует). Ограниченное сверху и снизу множество называют ограниченным. Верхняя грань множества A называется точной верхней гранью и обозначается, если она меньше любой другой верхней грани.

Аналогично определяется точная нижняя грань -- inf A.

Теорема о верхней грани. Любое непустое ограниченное сверху подмножество множества действительных чисел имеет точную верхнюю грань.

Теорема о точной верхней грани в поле рациональных чисел не выполняется как показывает пример множества рациональных чисел меньших , не имеющего точной верхней грани в областиℚ.