Аналитическая геометрия

1. Прямая на плоскости

Пусть - прямая на плоскости, -- ненулевой вектор, перпендикулярный , - какая-либо точка на прямой . Тогда точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен вектору , а это имеет место в том и только том случае, когда и это эквивалентно тому, что

-- уравнение прямой L, проходящей через заданную точку и перпендикулярную заданному вектору . Отсюда, обозначив , получим:

-- общее уравнение прямой на плоскости. Далее:

-- уравнение прямой, проходящей через две не совпадающие точки . Действительно, подставляя в (3) вместо координаты заданных точек, получаем верные равенства. Так как либо , либо , то (3) действительно будет уравнением прямой. Заметим, что вектор коллинеарен прямой . Соотношение (3) эквивалентно пропорции , отсюда получаем решение еще одной стандарной задачи:

-- уравнение прямой, проходящей через точку и коллинеарной заданному ненулевому вектору . Если обе равные дроби в (4) считать параметром и выразить через этот параметр, то получим

-- параметрическое уравнение прямой.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Пусть и - две прямые на плоскости. Тогда

а) пересекаются в точке тогда и только тогда, когда

б) тогда и только тогда, когда ;

в) тогда и только тогда, когда ;

г) .

д) тогда и только тогда, когда .

Доказательство. а) следует из правила Крамара, примененного к системе

б) и в).

Расстояние от точки до прямой L, заданной общим уравнением (2), может быть вычислено по формуле:

Полуплоскости, определяемые прямой. Пусть на плоскости задана прямая . Прямая разделяет плоскость на две полуплоскости и , задаваемые неравенствами и . Если точки и принадлежат одной полуплоскости, то и весь отрезок принадлежит этой полуплоскости. Если же точки и принадлежат разным полплоскостям, то любая непрерывная кривая, соединяющая с пересекает прямую .

2. Плоскость в пространстве

Пусть π - плоскость в пространстве, -- ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости , - какая-либо точка на плоскости π . Тогда

-- уравнение плоскости π , проходящей через заданную точку и перпендикулярную заданному вектору n. Отсюда:

-- общее уравнение плоскости в пространстве. Далее:

-- уравнение плоскости, проходящей через три точки , , , не лежащие на одной плоскости.

-- уравнение плоскости, проходящей через точку и коллинеарной двум векторам , не коллинеарным между собой.

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Пусть и - две плоскости в пространстве. Тогда:

а) тогда и только тогда, когда ;

б) тогда и только тогда, когда ;

в)

г) тогда и только тогда, когда ;

Расстояние от точки до плоскости π может быть вычислено по формуле:

Полупространства, определяемые плоскостью. Пусть в пространстве задана плоскость . Плоскость π разделяет пространство на два полупространства, задаваемые неравенствами Ax+By+Cz+D>0 и Ax+By+Cz+D<0. Если точки и принадлежат одному полупространству, то и весь отрезок принадлежит этому же полупространству. Если же точки и принадлежат разным полупространствам, то любая непрерывная кривая, соединяющая с пересекает плоскость .

3. Прямая в пространстве

Пусть - прямая в пространстве, и ненулевой вектор коллинеарен прямой . Тогда тогда и только тогда, когда вектор коллинеарен вектору , а это имеет место в том и только том случае, когда для некоторого t∈ ℝ . Переходя к покоординатной записи, получаем

-- каноническое уравнение прямой в пространстве, а

-- параметрическое уравнение прямой в пространстве.

Общее уравнение прямой в пространстве имеет вид:

где вектора не коллинеарны.

Расположение двух прямых в пространстве. Пусть в пространстве заданы две прямые - L, уравнением (1), и

Тогда:

а) L=L' тогда и только тогда, когда

;

б) L∥ L' тогда и только тогда, когда

;

в) ;

г) L и L' лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда

д) L и L' скрещиваются тогда и только тогда, когда определитель в (3) не равен нулю

4. Кривые второго порядка

   1. Эллипс

Эллипс это геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек есть величина постоянная. Две точки, о которых идёт речь в определении эллипса, называются фокусами эллипса, расстояние между ними называется фокальным расстоянием. Обозначим половину фокального расстояния через , а половину суммы от точки на эллипсе до фокусов обозначим . Эта величина называется большой полуосью. Заметим, что случай c=0 не исключается, он приводит к окружности радиуса . Выберем систему координат на плоскости так , что точки -- фокусы эллипса. Обозначим также ; -- малая полуось. Очевидно, что . Тогда каноническое уравнение эллипса будет следующее

Величину называют эксцентриситетом. Ясно, что 0≤ e<1 для эллипса, и чем ближе e к 1 тем более сплюснут эллипс. Более точно, эллипс (1) получается из окружности сжатием по оси OY в раз, т.е. если точка лежит на окружности , то точка лежит на эллипсе (1). Отсюда, в частности, следует, что площадь эллипса равна . Точки называются вершинами эллипса. Эллипс (1) симметричен относительно оси , называемой большой или фокальной ось, а также симметричен относительно оси (малая ось).

2. Гипербола

Гипербола есть геометрическое место точек на плоскости, модуль разность расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, обозначаемая, как и выше, через 2a. Так же как для эллипса, обозначим через c -- половину фокального расстояния. Но для гиперболы ; поэтому определена величина . Расположим фокусы гиперболы также как и для эллипса. Тогда каноническое уравнение гиперболы будет такое:

Эксцентриситет для гиперболы определяется также: , но он уже больше 1 и чем ближе к 1, тем более сплюснута гипербола. Гипербола, в отличии от эллипса, неограниченная линия на плоскости. Она имеет пару асимптот:. Координатные оси являются осями симметрии гиперболы. Если , то гипербола называется равнобочной. В координатах,

повернутых относительно канонических координат (см. (1)) на , уравнение равнобочной гиперболы приобретает вид или -- известная из школы функциональная зависимость. Мы видим, что гипербола имеет две ветви -- левую и правую.

Пусть -- точка на гиперболе. Расстояния называются фокальными. Можно доказать, что при и при .

3. Парабола

Парабола -- геометрическое место точек на плоскости, расстояния которых до фиксированной точки (фокус параболы) и до фиксированной прямой (директрисса параболы) равны. Если обозначить расстояние от фокуса до директриссы через p, (p>0 по определению), поместить фокус в точку а директрису отождествить с прямой x=-p/2, то каноническое уравнение параболы будет выглядеть так:

Действительно, точка принадлежит параболе в точности тогда, когда

Парабола (1) имеет ось OX своей осью симметрии. Точка O(0,0) - начало координат, будет левой крайней точкой параболы (1). Она называется вершиной параболы. У параболы также есть эксцентриситет, он равен 1 и не зависит от p.