MATEMATIKA_EKZAMEN / ЛЕКЦИИ2 / Тема 3 Функции

Тема 3 Функции

Отображение множеств. Биекции. Композиция отображений. Обратное отображение. Последовательности. Матрицы, строки. Аналитические выражения. Функции одной и нескольких переменных, в т.ч. заданные аналитическим выражением. ОДЗ и область значений функции. График функции. Основные элементарные функции. Линейные функции. Квадратные трехчлены. Многочлены. Рациональные дроби. Элементарные функции.

Пусть M и N – два множества. Правило , в силу которого каждому элементу (аргумент) сопоставляется значение (образ) называется отображением из множества N в множество M. При этом множество M называется областью допустимых значений (ОДЗ) отображения , а множество

называется областью значений отображения . Очевидно, что есть подмножество множества N. Если , т.е. если для всякого найдется хотя бы один аргумент такой, что , то назовем отображением множества M на множество N.

Композиция отображений и есть отображение такое, что

для любого .

Среди всех отображений M на себя имеется выделенное – тождественное отображение . Оно оставляет всякий элемент на месте.

Два отображения и называют взаимно обратными, если в том и только том случае, если . Это равносильно тому, что и одновременно. По другому, f и h называют взаимно обратными биекциями. Вообще, отображение биективно, когда оно отображает M на все N и, кроме того, обладает взаимной однозначностью:

Пример. биективно отображает ℝ на . Обратным отображением будет .

Функции и взаимно обратны.

Если -- какое-либо числовое множество, а -- правило, в силу которого каждому числу из ставится в соответсвие число , то мы будем говорить, что задана функция на множестве . Графиком функции называется линия на декартовой плоскости, состоящая из точек .

Пример. Самой простой функцией является тождественная . Ее график – биссектриса первого и третьего квадрантов. Отправляясь от такой функции с помощью арифметических операций можно получить любой многочлен:

-- линейная функция, т.е. многочлен первой степени ( здесь

-- квадратный трехчлен, т.е. многочлен второй степени (здесь

– кубический многочлен (здесь )

График функции или, более общо, называется параболой. График функции называется кубической параболой. У параболы точка есть точка глобального минимума, т.е. в ней достигается наименьшее значение, равное 0. Кубическая парабола в точке 0 касается оси Ох, однако возрастает в этой точке и вообще на всей числовой оси; сама точка O(0,0) будет точкой

Рисунок 1. Гипербола

Рисунок 2. Id и параболы

перегиба. Если допустить и операцию деления, то из тождественной функции можно получить функцию . Здесь, не любое значение можно подставлять вместо . Естественной областью определения для такой функции является числовая ось с выброшенным нулем:

График функции или, более общо, функции называется гиперболой.

Гипербола терпит разрыв в нуле, график этой функции имеет две ветви. Каждая из ветвей на бесконечности сколь угодно близко подходит к оси Ох. Этот факт имеет следующую запись: (см. параграф “Предел функции»).

Можно задавать функцию таблицей из двух строк, где в первой строке перечислены все возможные аргументы, а во второй – соответствующие им значения. В математике чаще прибегают к аналитическому способу задания функции. Функция задается аналитическим выражением, в которое входят переменная , константы и известные и точно определенные операции (арифметические, корни, логарифмы, показательные функции, тригонометрические и т.п.) Естественной ОДЗ аналитического выражения называется совокупность всех чисел, при которых все операции, входящие в аналитическое выражение определены, и получается итоговый результат -- .

Пример. Естественная ОДЗ функции есть отрезок .

Список основных элементарных функций

• Степенные

• Показательные

• Логарифмические

• Тригонометрические

• Обратные тригонометрические

4