Программа курса математики для бакалавров

Тема 1. Множества. Логика.

Элемент и множество, принадлежность. Пустое множество. Равенство множеств. Задание множеств. Конечные и бесконечные множества. Подмножество, отношение включения. Операции объединения, пересечения и разности над множествами. Свойства операций. Пары, равенство пар. Декартово произведение двух множеств. Высказывания, истинность и ложность высказываний. Импликации, эквивалентные высказывания. Кванторы существования и всеобщности.

Тема 2. Числа

Натуральные числа. Цифры. Десятичная система счисления. Отношение делимости. Целые числа. Порядок на кольце целых чисел. Числовая ось. Рациональные числа. Понятие поля чисел. Десятичные дроби.

Поле действительных чисел. Числовая ось. Полнота числовой прямой, аксиома о точной верхней грани. Бесконечные десятичные дроби. Определение поля . Линейная упорядоченность поля . Операции сложения и умножения над действительными числами. Длина отрезка числовой оси.

Пополнение вещественной прямой бесконечно удаленными точками. Правила обращения с бесконечностью.

Тема 3. Функции

Отображение множеств. Биекции. Композиция отображений. Обратное отображение. Последовательности, строки. Аналитические выражения. Функции одной и нескольких переменных, в т.ч. заданные аналитическим выражением. ОДЗ и область значений функции. График функции. Основные элементарные функции: ; ; ; ; ; ; ; . Многочлены. Рациональные дроби. Элементарные функции.

Тема 4. Предел и непрерывность.

Предел числовой последовательности. Предел монотонной последовательности. Свойства предела. Предельный переход в неравенствах. Число e.

Предел функции. Свойства предела функции.

Замечательные пределы. Первый з. предел с доказательством.

Бесконечно малые величины (б.м.). Свойства б.м.. Сравнение б.м., эквивалентность функций в точке. Принцип замены функций на эквивалентные при вычислении пределов. Таблица эквивалентных б.м. при . Бесконечно большие величины.

Непрерывность. Свойства непрерывных функций. Устойчивость знака. Функции непрерывные на отрезке (теоремы Вейерштрасса и Коши о нуле). Принцип непрерывности.

Тема 5. Производная. Техника дифференцирования.

Определение и уравнение касательной. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования (производная суммы с док-вом). Таблица производных (производные с доказательством). Логарифмическая производная. Дифференциал.

Производные высших порядков. Теорема о смешанных производных.

Тема 6. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма, теоремы Ролля (с док-вом), Лагранжа (с док-вом), Коши.

Правило Лопиталя (с док-вом). Сравнение роста на бесконечности логарифмической функции, степенной и показательной функций.

Формула Тейлора -- локальная (с док-вом) и с остаточным членом в форме Лагранжа. Производные и дифференциалы высших порядков. Оценка остаточного члена в формуле Тейлора. Формула Маклорена.

Разложение элементарных функций по формуле Маклорена (экспонента, гармоники, бином Ньютона, логарифм).

Тема 7. Исследование функций

Экстремумы. Исследование функции по первой производной – определение участков возрастания и убывания (с док-вом). Достаточные условия экстремума (с док-вом). Наибольшее и наименьшее значение дифференцируемой функции на отрезке.

Исследование функций по второй производной. Участки выпуклости и вогнутости, точки перегиба (с док-вом).

Асимптоты, их определение и способы отыскания (с док-вом).

Тема 7. СИСТЕМЫ. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

Системы линейных уравнений малых порядков. Определитель 2х2, правило Крамара 2х2. Геометрическая интерпретация решения системы 2х2. Определители 3х3. Метод Крамара 3х3 решения систем линейных уравнений третьего порядка. Метод Гаусса. Приведении системы к ступенчатому виду. Исследование системы по ступенчатому виду. Случай однородной системы.

Матрицы. Сложение матриц и умножение матриц на число. Транспонирование матриц. Свойства этих операций. Произведение матриц. Единичная матрица.

Определители. Понятие определителя nxn. Определитель треугольной матрицы. Свойства определителей. Минор. Разложение по строке (столбцу). Определитель произведения матриц.

Тема 9. ВЕКТОРЫ

Понятие вектора. Равенство двух векторов. Операции сложения векторов и умножения вектора на число. Длина, направляющие косинусы вектора, орт. Стандартный базис . Координаты вектора. Запись в координатах длины вектора, операций сложения и умножения на число.

Скалярное произведение. Определение, физический смысл скалярного произведения. Разложение вектора по ортонормированному базису. Свойства и запись в координатах скалярного произведения.

Векторное произведение. Определение, физический смысл, свойства и запись в координатах. Геометрический смысл определителя .

Тема 10 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Прямая линия на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Вектор, перпендикулярный прямой. Параметрическое уравнение прямой. Деление отрезка в заданном отношении. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Полуплоскости, задаваемые прямой.

Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Запись уравнения плоскости по заданным элементам. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Общий случай расположения трех плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Полупространства, определяемые плоскостью.

Прямая в пространстве. Каноническое и параметрическое уравнения. Общее уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Эллипс, геометрическое определение. Каноническое уравнение эллипса. Полуоси, эксцентриситет. Свойства эллипса. Гипербола, парабола - их свойства и геометрические определения.

Тема 11 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Понятия функций двух и трех переменных. Частные производные ф.м.п.

Экстремумы ф.м.п. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

Тема 12 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Обратная задача к задаче дифференцирования. Первообразная. Теорема о первообразных. Неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интеграла.

Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

Разложение и интегрирование дробно-рациональных функций.

Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование тригонометрических выражений вида R(sin x, cos x), где R – рациональная функция.

Тема 13. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение и геометрический смысл определенного интеграла. Первичные свойства определенного интеграла. Оценка определенного интеграла, теорема о среднем.

Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Несобственные интегралы по бесконечному промежутку и от неограниченных функций.

Тема 14. Приложения определенного интеграла.

Вычисление площадей с помощью определенного интеграла. Полярные координаты. Площадь криволинейного сектора. Вычисление объемов тел. Определение и вычисление длины дуги.

Вычисление работы силы.

Тема 15. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го порядка.

Общие понятия (определение дифференциального уравнения, решения, порядка, нормальной формы записи). Дифференциальные уравнения 1-го порядка, задача Коши, теорема существования и единственности.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения в полных дифференциалах.

Тема 16. Линейные дифференциальные уравнения;

однородные и неоднородные. Линейность пространства решений однородного линейного уравнения. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.

Основная теорема о структуре пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Решение однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Метод вариации постоянных решения неоднородного линейного дифференциального уравнения. Метод подбора решения неоднородного линейного дифференциального уравнения

Тема 17. Числовые ряды

Определение суммы ряда, сходимости и расходимости. Необходимый признак сходимости. Геометрическая прогрессия. Арифметические операции с рядами.

Признаки сходимости: теорема сравнения, интегральный признак сходимости, признак Даламбера.

Абсолютная и условная сходимость. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда. Оценка остатка такого ряда.

Тема 18. Степенные ряды.

Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена.

Приближенные вычисления, вычисления определенных интегралов и решения дифференциальных уравнений с помощью рядов.