Тема 12 неопределенный интеграл.

1. Первообразная и неопределенный интеграл

Решаем дифференциальное уравнение

на интервале . Уравнение (1) можно переписать в дифференциалах:

Любое решение такого уравнения называется первообразной функции .Первообразная функциина интервале. Случаии/или. Ясно, что еслипервообразная, то итакже первообразная. Наша задача – найти все решения уравнения (1). Функция двух переменныхназывается общим решением уравнения (1) или неопределенным интегралом функции, если при подстановке вместолюбого числа получаем частное решение уравнения (1) и любое частное решение уравнения (1) получается таким образом.

Лемма. Пусть тождественно для всех. Тогда-- константа на этом интервале.

Теорема о первообразных. Две первообразных одной и той же функции, определенной на интервале, отличаются на константу.

Следствие. Если -- первообразная функции, то, где C пробегает множество действительных чисел.

2. Простейшие свойства неопределенного интеграла.

1. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

2. Константу можно выносить за знак интеграла:

3. Производная от интеграла равна подинтегральной функции.

4. Дифференциал от интеграла равен подинтегральному выражению.

5. (Линейная замена переменных) Если , то(здесь).

Таблица основных интегралов

f(x)	(λ ≠ 0)
F(x)

f(x)
F(x)				(высокий логарифм)	(длинный логарифм)

3. Замена переменной в неопределённом интеграле

По определению .

Теорема.Пусть-- дифференцируемая функция. Тогда

В частном случае, когда получаем линейную замену переменных (см. свойство 5,§1).

Примеры.А.

В.

Г.

4. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле

Теорема. Для дифференцируемых функцийиимеет место соотношение

Пример.

Метод интегрирования функций вида.

Пример.

Метод интегрирования функций вида:

Пример.

5. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется функция вида , где– многочлены. Если, то рациональную дробьназывают правильной. В противном случае ее называют неправильной.

Следующие рациональные дроби называют простейшими

(1 тип) ,

(2 тип)

(3 тип)

(4 тип) ,

Теорема 1. Любую дробь можно разложить в сумму многочлена и правильной рациональной дроби.

Теорема 2.Любую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших.

Примеры.А. Разложимв сумму простейших

Отсюда следует, что . Подставляя в это соотношениенаходим сразу. Итак

6. Интегрирование иррациональных выражений

Далее -- рациональная функция одной или нескольких переменных.

Интегралы вида

где ad-bc≠ 0, аk=НОК(n,…,s) сводятся к интегралам от рациональной дроби заменой

Примеры. А. Вычислим интеграл

Б. Вычислим интеграл

Более простой метод интегрирования (но требующий догадки) этой же функции таков:

7. Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональной функции универсальной заменой

В частных случаях R(sin x) cos x dx,R(cosx)sinxdxиR(sin²x, cos²x, tg x, ctg x) dx лучше пользоваться заменамисоответственно.

Примеры. А.

Б.

Тема 13 определенный интеграл Определение определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезкеи неотрицательна. Фигура, заданная неравенстваминазывается криволинейной трапецией. Вычислим площадь криволинейной трапеции. Идея вычисления состоит в том, чтобы нарезать эту трапецию на узенькие вертикальные полоски, площадь каждой полоски считать как площадь прямоугольника, а затем сложить получившиеся результаты. Мы получим приближенный ответ. Для получения точного ответа надо брать полоски все уже и уже и перейти к пределу, когда максимальная ширина полоски стремится к нулю.

Разбиением отрезка называется семейство точектаких, что

Параметром разбиения (обозначим его ) называется наибольшее из приращенийкогда индекспробегает от 1 до n. Пусть- функция, определенная на отрезкеи- какие-либо (отмеченные) точки из отрезков. Тогда

называется интегральной суммой.

Определение.Определённым интегралом функциина отрезкеназывается предел интегральных сумм, если параметр разбиения стремиться к нулю:

Если , то по определению полагаем. Если же, то считаем по определению

Функция называется подинтегральной,называется подинтегральным выражением. Числоназывается нижним пределом интегрирования, а– верхним пределом интегрирования.

Функцию , заданную на отрезке, для которой предел (3) существует, назовем интегрируемой (по Риману) на этом отрезке. Сумма интегрируемых функций есть интегрируемая функция и произведение интегрируемой функции на число есть также интегрируемая функция. Еслиинтегрируемы, то для любых чиселлинейная комбинациятакже интегрируема на отрезкеи

Заметим, что из определения интеграла, у которого нижний предел больше или равен верхнему вытекает, что равенство (4) справедливо вне зависимости от расположения точек ина числовой прямой.

На существование и на значение определенного интеграла не влияет изменение значения функции в конечном числе точек.

Адитивность интеграла. Пусть . Тогда функцияинтегрируема на отрезкев том и только том случае, когда она интегрируема наи на. В этом случае

Если точки расположены произвольно на числовой прямой и каждый из интегралов в (5) существует, то равенство (5) имеет место.

Теорема 2. Кусочно-непрерывная функция интегрируема на любом отрезке.

Монотонность интеграла.Еслидля всехи, то.

Как следующее свойство отметим одно простое равенство, вытекающее из определения определенного интеграла:

Оценка интеграла.Еслина отрезкеи, то

Действительно, Здесь мы последовательно применили монотонность интеграла, его линейность и равенство (1). Аналогично доказывается первое из неравенств в (2).

Например, на отрезке, что следует из монотонности функцииа значит и функции. Отсюда,

Теорема о среднем. Если функциянепрерывна на отрезке, то найдётся точкатакая, что

Величина называется интегральным средним функциина отрезке.

Пример. Пусть

Тогда интегральное среднее функции (4) на отрезке равно

Однако точки такой, чтонет. Причина этого – разрыв функциив точке 1.