Длина дуги

Кривой γ в пространстве называется отображение

. Здесь t называется параметром. Точканазывается началом кривой γ , а точканазывается концом. Если P=Q, то кривая γ называется замкнутой. Кривая γ называется непрерывной, если функциинепрерывны. Кривая называется гладкой, если существуют непрерывные производные, причём они не равны 0 одновременно. Кривая γ называется кусочно-гладкой, если её можно разбить на конечное число гладких кусков.

Примеры. 1. Отрезок прямой

2. Окружность . Считая а), б), в)получим разные кривые.

3. Винтовая линия радиуса R и с шагом H

4. Цепная линия - график функции .

5. Периметр квадрата - пример кусочно гладкой, но не гладкой кривой

Длина кривой.Пусть-- точки пространства. Тогда кривую

назовём ломаной, а число назовём длиной этой ломаной. Пусть (1) -- произвольная кривая, и-- разбиение. Обозначим. Тогда ломануюназовём вписанной в. Длиной кривойназывается предел длин вписанных ломаных, если максимум длин звеньев стремиться к 0.

Теорема. Пусть-- кусочно-гладкая кривая. Тогда

Следствие.Если-- дифференцируемая функция с кусочно непрерывной производной на отрезке, то длина дуги графика этой функции на данном отрезке будет равна

Примеры. 1. Длина отрезкаPQравна

2. Длина окружности

3. Длина одного витка винтовой линии

4. Длина цепной линии