Тема 5 Производная

Задача о мгновенной скорости. Рассмотрим материальное тело движущееся по оси Ох. Предположим, что нам известен закон движения – функция , задающая координату точки в момент времени Фиксируем какой-либо момент времени . Поставим задачу об определении и вычислении мгновенной скорости в момент времени . Придадим приращение времени и найдем соответствующее ему приращение координаты . Тогда отношение приращения координаты к приращению времени задает среднюю скорость на временном участке :

(1)

Мгновенную скорость определим как предел средней скорости при :

Пример. Закон падения тела с высоты без учета сопротивления воздуха задается как ( -- ускорение свободного падения). Вычислим скорость тела после 3-х секунд падения:

Задача о касательной. Пусть на плоскости или в пространстве задана некоторая кривая γ и точка P на ней. Требуется определить понятие касательной к γ в точке P. Выберем точку на кривой , не совпадающую с точкой . Проведем через точки и прямую , называемую секущей. Касательной в точке P к кривой γ назовем предельное положение секущих , в случае, когда точка Q приближается к точке P, оставаясь на кривой γ. Пусть теперь γ -- график функции , и точка P имеет координаты . Рассмотрим точку . Обозначим и назовем эти величины приращением аргумента и приращением функции соответственно. Тогда угловой коэффициент секущей будет равен и ее уравнение будет

Рис. 1 Касательная

Если , то , причем и секущая (3) переходит в касательную с угловым коэффициентом

Пример. Найдем касательную к кубической параболе в точке . Имеем

Отсюда получаем ответ: или . Это и есть уравнение искомой касательной.

Определение. Предел

называется производной функции в точке . Функция называется дифференцируемой на интервале, если она имеет производную в каждой точке этого интервала.

Итак: механический смысл производной -- мгновенная скорость. Геометрический смысл производной -- тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке .

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

а уравнение нормали имеет вид:

в предположении . Если же, то касательная горизонтальна и задается уравнением , а нормаль перпендикулярна оси Ох и задается уравнением .

Примеры. 1.

2. . Действительно,

3. . Действительно,

4. Функция в нуле непрерывна, но не имеет производной. Правая производная в нуле равна 1, а левая равна .

Предложение. Дифференцируемая функция непрерывна.

Действительно, из соотношения вытекает, что отличается от на бесконечно малую величину и

Это и означает непрерывность функции в точке . □

Заметим, что непрерывная функция не обязательно будет дифференцируемой, см. выше пример функции в точке .

1. Основные правила дифференцирования.

Д1. Производная константной функции равна нулю: (C)'=0.

Д2. Производная суммы равна сумме производных: .

Д3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .

Д4. (правило Лейбница) .

Доказательство.

Здесь мы применили правила предел суммы и предел произведения, а также заменили на в виду непрерывности функции (см. предложение выше)

Д5. ; в частности .

Д6. (производная сложной функции})

Обоснуем эту формулу. Придадим приращение переменной . Тогда получит приращение Следовательно, получит приращение Далее:

Замена на возможна в силу непрерывности дифференцируемой функции .

Д7. ( производная обратной функции}) Пусть -- две взаимно обратные функции. Тогда .

Действительно, из дифференцированием по следует соотношение , откуда получаем результат.

Таблица производных

Функция
Производная

Функция
Производная

Здесь -- гиперболические синус и косинус соответственно. Вычислим производную синуса:

Здесь мы воспользовались эквивалентностью а также непрерывностью функции . Вычислим производную косинуса:

Здесь мы воспользовались формулой производная сложной функции, введя промежуточный аргумент и учитывая , а Производная тангенса:

Производная экспоненты:

Производная логарифма считается с применением правила «производная обратной функции»

2. Другие приемы дифференцирования

1. Неявно заданные функции.

Пусть для уравнения

и отрезков верно следующее: для любого найдется единственное значение (зависящее от x) такое, что . Тогда получаем закон в силу которого любому ставится в соответствие число такое, что . В этом случае -- функция, заданная неявно уравнением (1) в прямоугольнике .

Пример. Соотнoшение в области задает функцию , а в области -- функцию .

Метод дифференцирования неявно заданных функций.

1. Дифференцируем (1) по , считая функцией аргумента x.

2. Из полученного соотношения выражаем через y и x. Пусть результат будет

3. Если даны координаты такие, что , то .

Пример. Найдем производную функции, заданной неявно соотношением в окрестности точки . Дифференцируем данное отношение по , получим: . Отсюда находим В точке эта производная равна и уравнение касательной будет иметь вид

2. Параметрически заданные функции

Пусть

-- кривая на плоскости, заданная параметрически. Предположим, что для любого найдется единственное значение параметра такое, что . Тогда называется функцией, заданной параметрически.

Пример. Соотношения

задают эллипс с полуосями 3 и 2. Для любого x∈ [0,3] найдется единственное число , а именно такое, что . Тогда -- функция, заданная параметрически соотношением (*), и которую в данном случае мы записали как элементарную функцию (другая запись той же функции -- ).

Имеет место следующая формула, для производной функции, заданной параметрически:

Действительно, дифференцируя по как сложную функцию с промежуточным аргументом , получаем Но согласно правила дифференцирования обратной функции. Подставляя, получим , что и требовалось доказать.□

Пример. Найдем касательную к эллипсу при . Значения функций ;

3. Логарифмическая производная

Пусть задана дифференцируемая функция . Тогда называют логарифмической производной этой функции. Ясно, что . Иногда бывает проще сначала найти логарифмическую производную.

Пример. Найдем производную функции . Сначала найдем логарифмическую производную этой функции –

Отюда следует

Теперь найдем производную функции :

9