Тема 12 Неопределенный интеграл

1. Первообразная и неопределенный интеграл

Решаем дифференциальное уравнение

на интервале . Так как, то уравнение (1) можно переписать в дифференциалах:

Любое решение такого уравнения называется первообразной функции . По-другому, функцияназываетсяпервообразной функциина интервале, еслидля всех. Случаии/илине исключаются. Ясно, что еслипервообразная, то итакже первообразная. Наша задача – найти все решения уравнения (1). Функция двух переменныхназывается общим решением уравнения (1) или неопределенным интегралом функции, если при подстановке вместолюбого числа получаем частное решение уравнения (1) и любое частное решение уравнения (1) получается таким образом.

Неопределённый интеграл обозначается . Функцияназывается подинтегральной, дифференциалназывается подинтегральным выражением, а-- знак интеграла (растянутая латинская букваS, первая буква словаSum– сумма). Возникает вопрос о существовании первообразной и неопределенного интеграла. В разделе «Определенный интеграл»,§Формула Ньютона-Лейбница будет доказано, что первообразная непрерывной функции всегда существует.

Лемма. Пусть тождественно для всех. Тогда-- константа на этом интервале.

Доказательство. Обозначим для какой-либо точки. Возьмём произвольную точкуи к разностиприменим теорему Лагранжа:для некоторой точки. Отсюдаи лемма доказана.□

Теорема о первообразных. Две первообразных одной и той же функции, определенной на интервале, отличаются на константу.

Доказательство. Пусть и-- первообразные функции. Тогдаоткуда, по лемме-- константа. Следовательно,.□

Следствие. Если -- первообразная функции, то, где C пробегает множество действительных чисел.

1. Простейшие свойства неопределенного интеграла.

1. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

2. Константу можно выносить за знак интеграла:

3. Производная от интеграла равна подинтегральной функции.

4. Дифференциал от интеграла равен подинтегральному выражению.

5. (Линейная замена переменных) Если , то(здесь).

2. Таблица основных интегралов

В частности,

Для исключительного случая имеем:

Далее

f(x)	(λ ≠ 0)
F(x)

f(x)
F(x)				(высокий логарифм)	(длинный логарифм)

1. Задачи

1. Найти а); б)в); г)

2. Найти а)

3. Решить дифференциальное уравнение с условием

4. Решить дифференциальное уравнение с условиями

5. Решить дифференциальное уравнение

2. Замена переменной в неопределённом интеграле

Определение неопределенного интеграла распространим на более общий случай: полагаем по определению . Таким образом, например

.

Теорема.Пусть-- дифференцируемая функция. Тогда

Доказательство. Пусть . Тогда

что и требовалось доказать.□

В частном случае, когда получаем линейную замену переменных (см. свойство 5,§1). Применение формулы (1) "слева на право" и будет означать замену переменной . Применение формулы (1) в обратном направлении, "справа налево" называется занесением под знак дифференциала.

Примеры.А.

В.

Г.

3. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле

Теорема. Для дифференцируемых функцийиимеет место соотношение

Доказательство. Интегрируя левую и правую часть формулы , получаем:

Так как по определению и, то формула (1) следует.□

Пример.

1. Метод интегрирования функций вида.

Здесь и далее – многочлен степени n. Метод интегрирования состоит в занесении экспоненты или гармоники под знак дифференциала, а затем применяется формула интегрирования по частям. Повторяем эту процедуру n раз.

Пример.

2. Метод интегрирования функций вида:

Для интегрирования таких функций заносим многочлен под знак дифференциала и применяем формулу интегрирования по частям. Процедуру повторяем k раз.

Пример.

1. Задачи

1. Вычислить, применяя занесение под знак дифференциала а) ; б); в)

2. (применить подстановку )

3. Вычислить, применяя формулу интегрирования по частям а) б); в); г)

4. * Вычислить

4. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется функция вида , где– многочлены. Если, то рациональную дробьназывают правильной. В противном случае ее называют неправильной.

Следующие рациональные дроби называют простейшими

(1 тип) ,

(2 тип)

(3 тип)

(4 тип) ,

Теорема 1. Любую дробь можно разложить в сумму многочлена и правильной рациональной дроби.

Доказательство. Пусть – неправильная рациональная дробь. Поделим числитель на знаменатель с остатком:Здесь-- многочлены, причемТогда

Дробь правильная в силу неравенства.□

Теорема 2.Любую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших.

Примеры.А. Разложимв сумму простейших

Отсюда следует, что . Подставляя в это соотношениенаходим сразу. Итак