23

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Основные понятия

Ранее неоднократно мы встречались с уравнениями с одним неизвестным; при этом корнем или решением такого уравнения служило число, при подстановке которого вместо неизвестного, уравнение превращалось в верное числовое равенство. В этом разделе мы будем решать уравнения, неизвестным в которых является функция. В разделе «Неопределенный интеграл» мы фактически занимались решением уравнения

Требовалось найти такую функцию-первообразную , производная которой тождественно равна. Мы видели, что решений у уравнения (1) бесконечно много, и все они отличаются друг от друга на константу (теорема о первообразных). Эту множественность решений можно обозревать и с другой точки зрения. Фиксируем значение первообразной в определенной точке:

Считаем начальными условиями. Тогда для непрерывной функции, заданной на интервалеи начальных условийcусловиемсуществует и единственно решениеуравнения (1), удовлетворяющее соотношению (2). Более того, ответ задается формулой

Сформулирована теорема существования и единственности для дифференциального уравнения самого простого вида. Рассмотрим теперь уравнение вида

Его полное название – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка в нормальной форме. Обыкновенное, так как неизвестная функция зависит лишь от одной переменной, в отличии, например, от уравнения ЛапласаПервого порядка – так как старшая производная, входящая в уравнение (4) имеет первый порядок. Нормальная форма записи дифференциального уравнения означает, что старшая производная выражена через младшие производные, а также саму неизвестную функцию, а также переменную. Таким образом,

есть дифференциальное уравнение второго порядка в нормальной форме, а

есть общий вид дифференциального уравнения n-го порядка в нормальной форме. Решение уравнений вида (4), (5), (6) составляет основную задачу данного раздела. При этом функцияназывается (частным) решением уравнения (4) или (6), если при подстановки вместов это уравнение получаем тождество.

Пример. Функциятакже как и функциябудут решениями дифференциального уравненияcодним и тем же начальным условием

Задача решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями (например, найти решение уравнения (4)cусловием (2)) называется задачей Коши. Начальные условия для уравнения (6) задаются рядом чисели выглядят так

Теорема существования и единственности.Если в дифференциальном уравнении первого порядка(4) функциявместе со своей частной производнойнепрерывны в области, содержащейкак свою внутреннюю точку, то найдется интервалдля которого, существует и единственно решениезадачи Коши.

Общая теорема для уравнения n-го порядка (6) гласит, что если функциявместе со всеми своими частными производными по второй, третьей и т.д. поn-ой переменной непрерывны в пространственной области, содержащей точку, то локальное решение задачи Коши существует и единственно.

В примере выше нарушена единственность решения задачи Коши, так как производная не будет непрерывной в начале координат.

2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

   1. Уравнение размножения и гибели.

Биологический закон: при благоприятных условиях скорость размножения бактерий (или других микроорганизмов) пропорциональна их количеству N(t). Это приводит к дифференциальному уравнению:

Легко проверить, что при любом значении постоянной C функция будет решением этого уравнения. Подставляя в это соотношение, находим, что

Предположим, что в начальный момент времени (минут) имелосьбактерий. Допустим также, что из экспериментов мы нашли, что k=0,1. Сколько будет бактерий через час?

Приведем ещё три примера, приводящие к дифференциальному уравнению такого же типа:

а) Пусть M(t) -- масса радиоактивного вещества в момент времени t. Из физики известно, что скорость его убывания пропорциональна наличному количеству. Получаем: . Следовательно,Периодом полураспада называют времяпо происшествию которого масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое. Найдем период полураспада из соотношенияПолучим

б) Скорость изменения температуры тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Считая, что температура окружающей среды постоянна и равна , а температура тела в момент t равна T(t), получаем дифф. уравнение

где γ >0 -- коэффициент пропорциональности. Заменяя сводим последнее дифференциальное уравнение к видурешение которого мы уже знаем:. Отсюда получаем зависимость температуры от времени

Графики функций (2) при различных значениях называются интегральными кривыми.

Вид их указан на рис. 2

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением размножения и гибели. Мы доказали, что все решения уравнения (4) исчерпываются функциями вида .

Задача.Браконьер убил кабана. Обходчик, обнаруживший труп кабана, измерил его температуру – она оказалась 31^o. Через час обходчик снова измерил температуру. Она оказалась 29^o. Предполагая, что температура воздуха не изменялась и была равной 21^o, найти за сколько времени до момента первого измерения температуры было совершено преступление.

Замечание. Температуру живого кабана принять равной 37^o.

Решение. Считаем, что скорость охлаждения тела в среде пропорциональна разности между температурой тела и температурой среды. Обозначая через - температуру кабана в момент времени t, получаем дифференциальное уравнение(*), где a - температура воздуха. Время измеряется в часах и начальные условия таковы: x(0)=31; x(1)=29. Как мы знаем, общее решение уравнения (*) таково: ln(x-a)=-kt+C. Подставляя значения t=0,1 получаем систему для определения C и k:

Отсюда k=0,22314 иt=-1/kln{x-21/31-21}. Подставляя сюда x=37, находим время t≈ -2,10630. Ответ: Преступление совершено за 2 часа 6 мин до момента первого обхода