5. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решим дифференциальное линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

(Здесь pиq– числа). Ищем решение в виде. Эта функция будет решением (1) тогда и только тогда, когда– корень уравнения

Уравнение (2) называется характеристическим.

Действительно, подставляя в (1) вместо функцию, получаем. Так как экспонента никогда не равна 0, то на нее можно сократить, и мы приходим к квадратному уравнению (2).

Случай 1. .

Тогда уравнение (2) имеет два различных действительных корня ибудет Ф.С.Р. уравнения (1). Тем самым-- общее решение дифференциального уравнения (1).

Случай 2. D=0.

Тогда характеристическое уравнение (2) имеет один корень и при этом. Подставляя в (1) функцию, что

и тем самым также будет решением, не пропорциональным решению, Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид

Случай 3. D<0. Тогда характеристическое уравнение (2) имеет два комплексно сопряженных решения(. Можно проверить, что-- два непропорциональных решения уравнения(1). Отсюда-- общее решение.

Пример.Уравнениеимеет характеристическое уравнение вида, у которого есть пара комплексно сопряженных корней. Следовательно, общее решение заданного дифференциального уравнения будет

2. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решаем уравнение

где правая частьимеет специальный вид, аипо-прежнему суть числа. Мы применяем теорему, согласно которой общее решение уравнения (3) есть сумма общего решения однородного уравнения (1) и частного решения (обозначим его) уравнения (3). Так как общее решение однородного уравнения мы научились находить (случаи 1,2,3 выше), то осталось выяснить в каком виде и как находится какое-либо частное решение неоднородного уравнения (3).

Предположим, что есть функция вида(здесь– многочлен степениn).

Случай а) Число не является корнем характеристического уравнения (2).

Тогда частное решение можно найти в виде , где-- многочлен степениn.

Случай б). Число совпадает ровно с одним корнем характеристического уравнения (2).

Тогда частное решение можно найти в виде, где-- многочлен степениn. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, после подставновкив уравнение (3), находим коэффициенты многочлена.

Случай в). Число -- двукратный корень характеристического уравнения.

Тогда частное решение можно найти в виде , где-- многочлен степениn,

Подведем итог и сформулируем вид частного решения, применимый сразу для всех трех случаев а), б), в). Для этого определим число – кратность показателяв характеристическом уравнении – число корней (2), с которыми совпадает. По другому, это наибольшее неотрицательное целое число, такое, чтоделитВозможные значения суть 0, 1 или 2. Существует и третий способ определения-- это наименьший порядок производной квадратного трехчлена, для которойне является корнем.

Примеры.Для уравнениякорни характеристического уравнениясуть числаиобщее решение однородного есть. Показательравен 0, ибо. Кратность, ибо 0 не совпадает ни с -1 ни с -3. Частное решение ищем в виде. Подставляя это в исходное уравнение, находим, откуда. Итак-- общее решение.

Уравнение имеет корни,, откуда видим, что кратностьи частное решение надо искать в виде. Используя формулу (1), составляем уравнение для многочлена:

Вычисляя производные, получим , откудаи

-- общее решение заданного уравнения.

Пусть теперь , где) -- многочлены, наибольшая степень которых равнаn.

Случай г) Комплексное число не является корнем характеристического уравнения (3). Тогда частное решение можно найти в виде

где -- многочлены степениnс неопределенными коэффициентами.

Случай д) Комплексное число (b≠ 0) есть корень характеристического уравнения. Тогда частное решение можно найти в виде

где -- многочлены степениnс неопределенными коэффициентами.

Примеры.Частное решение уравненияищем в видеибо комплексное числоне является корнем уравненияОбщее решение имеет вид

Частное решение уравнения ищем в видеибо комплексное числоявляется корнем уравненияОбщее решение уравнения имеет вид