2. Уравнение движения точки на оси

Пусть материальная точка массой m движется вдоль оси Ox, занимая в момент времени t, положение , имея мгновенную скоростьи ускорение. Согласно второму закону Ньютона произведениеравно сумме действующих сил на точку. Это представляет из себя дифференциальное уравнение второго порядка:

Считаем, что нам известны положение и скоростьв начальный момент времени. Рассмотрим частные случаи.

А. Свободное движение. Это случай F=0. Тогда -- равномерное движение.

Б. Равноускоренное движение. Это случай, когда F=a -- константа. Тогда .

В. Уравнение колебаний. Пусть на точку действует только сила упругости пружины, которая по закону Гука равна , где k>0 -- коэффициент жесткости пружины. Получаем уравнение свободных колебаний

Можно проверить, что есть целое семейство решений этого уравнения. Более того, если задано положение точкии скоростьв начальный момент времени, то положение ее в любой момент времени строго определено. Это значит, что найдутся единственные константытакие, что

Если на материальную точку кроме упругой силы действует и сила сопротивления вязкой среды, , причем она пропорциональна скорости и направлена в противоположную к скорости сторону:(λ>0 – коэффициент вязкости), то получаем уравнение колебаний с учетом сопротивления:

Если на материальную точку кроме силы упругости и силы сопротивления действует еще и вынуждающая сила , зависящая от времени, то получаем уравнение вынужденных колебаний :

Уравнение колебаний мы решим в параграфе 15.

3. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка

Дано дифференциальное уравнение первого порядка

Пусть D- область определения функции. В каждой точке (x,y)∈Dнарисуем отрезок с коэффициентом наклона равнымПолучим поле направлений на областиD. Кривая γ будет интегральной кривой, т.е. графиком решения уравнения (1) тогда и только тогда, когда в любой точкеP∈γ она касается соответствующего направления. Тем самым поле направлений помогает качественно оценить вид решений, не решая дифференциального уравнения.

Пример.Рассмотрим уравнение(не решаемое в квадратурах). Нарисуем поле направлений.

интегральная кривая

Геометрическую интерпретацию можно применить для приближенного решения дифф. уравнения.

3. Методы решения некоторых дифференциальных уравнений первого порядка

Определение.Общим решением дифференциального уравнения(*) в областиназывается такая функцияy=𝜑(x,C), что

1) для любого значения константы C,-- решение дифференциального уравнения (*);

2) для любых начальных условий найдется константатакая, что.

Например, -- общее решение дифференциального уравненияy'=yна всей декартовой плоскости, а-- частное решение, или решение задачи Коши с начальным условием.

1. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными. Метод решения этого уравнения следующий:

а) разделяем переменные и получаем уравнение в дифференциалах : ;

б) интегрируем уравнение в дифференциалах (константуCзаписываем лишь одну) -- получаем общее решение в неявном виде;

в) выражаем yчерезxиC-- получаем общее решение в явном виде.

Заметим, что такой же метод решения применим и дифференциальному уравнению в дифференциалах, имеющему вид

Пример. Решим дифференциальное уравнение, описывающее протекание химической взрывной реакции --. Здесьx(t) -- количество вещества, -- продуктов взрыва в момент времениt, аk>0 -- коэффициент пропорциональности. Методом, изложенном выше, разделяем переменные, интегрируем --и находим общее решениеЕсли, тои количество вещества становиться бесконечным за конечное время.