3. Метод вариации постоянных

Решаем неоднородное линейное уравнение

вообще говоря с переменными коэффициентами. Предположим, что нам удалось найти Ф.С.Р. однородного уравнения , тогда общее решение этого уравнения будет.

Решение уравнения (1) ищем в виде , гденеизвестные функции, подлежащие определению. Имеем

Положим (*). Тогда, с учетом этого, вычислим вторую производную:

Подставляя ив (1), получим

или

Так как , то приходим к уравнению

Вместе с (*), получаем систему, из которой находятся функции интегрированием:

Пример 1.РешимОбщее решение однородного уравнения будет иметь вид:. (Заметим, что определетель Вронского не равен 0 ни в одной точке, где функции 1/x,xнепрерывны). Решение уравнения ищем в виде. Функциинаходим из системы

откуда

следовательно

Тогда общее решение исходного уравнения будет

Принцип суперпозиции. Частное решениеуравненияможно представить в виде суммы, гдеесть частные решения уравнений.

Пример 2. Решим уравнениеОбщее решение соответствующего ему однородного уравнения будетЧастное решение неоднородного ищем в виде, гдеесть частное решение уравнения(1н),есть частное решение уравнения(2н). Следовательно,и. Подставляяв уравнение (1н), получим, откуда. Подставляяв уравнение (2н), получимоткудаОкончательно, получаем общее решение