- •Основные понятия
- •Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •Уравнение размножения и гибели.
- •Уравнение движения точки на оси
- •Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка
- •Методы решения некоторых дифференциальных уравнений первого порядка
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Линейные уравнения.
- •Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Метод вариации постоянных
Однородные уравнения
Так называются уравнения вида
Метод решения: а) переходим к новой неизвестной функции . Тогдаи уравнение (2) переписывается так:(*). А это уравнение с разделяющимися переменными.
б) Решаем вспомогательное уравнение (*). Пусть есть его общее решение.
в) Тогда -- общее решение исходного уравнения.
Пример (форма прожектора).Найдем форму прожектора. Нам нужно решить дифференциальное уравнение
Заменяя , получим, откуда. Интегрируя, получаем. Переносяuв право, и возводя в квадрат, имеем:
-- семейство парабол с фокусом в начале координат.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Так называются уравнения вида
Если P(x),Q(x) непрерывны, то условия теоремы существования и единственности выполнены.
Метод решения
а) Решаем сначала уравнение без правой части как уравнение с разделяющимися переменными. Получаем общее решение в видеy(x)=Cu(x), где-- одна из первообразных функции.
б) Общее решение уравнения (4) ищем в виде y=C(x)u(x), гдеC(x) -- функция, подлежащая определению. Такой приём называется методом вариации постоянных.
в) Подставляя в (4), имеем:
Второе и третье слагаемые в левой части дают 0, ибо. Отсюда
г) Решая это уравнение, т.е. интегрируя, находим
д) Подставляя это в , получаем общее решение исходного уравнения.
Пример.Сила токав электрической цепи с омическим сопротивлениемRи коэффициентом самоиндукцииLудовлетворяет дифф. уравнению
где E-- электродвижущая сила. Найдём зависимостьj(t) при условии, что. Полагая сначалаE=0 находим, где. Тогда решение исходного уравнения ищем в виде. ФункциюC(t) находим из уравнения. Интеграл функцииравен(см. глава «Определенный интеграл», последний параграф). Отсюда
В частности, в установившемся режиме (время tвелико) амплитуда колебаний будет равна
При надо вместо уравнения (5) решать уравнение( закон Ома). Получаем
Уравнение в полных дифференциалах
Дифференциальное уравнение вида
называется уравнением в дифференциалах. Заметим, что (1) действительно дифференциальное уравнение первого порядка, ибо оно может быть переписано для области D, в которойN(x,y)≠ 0 как. Наоборот, любое дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в дифференциалах.
Уравнение (1) назовём уравнением в полных дифференциалах, если в рассматриваемой области существует функция , называемая потенциалом, дифференциал которой равен левой части уравнения, т.е.
Уравнение в полных дифференциалах может быть переписано в виде du(x,y)=0 общим решением которого являются эквипотенциальные кривые, задаваемые соотношениемu(x,y)=C. Докажем это. Пусть-- неявно заданная уравнениемфункция. Тогда. Вычисляя дифференциал левой и правой части, получим:, следовательно.
С другой стороны, пусть -- начальные условия. Тогда возьмем константуи определим функциюкак неявно заданную уравнением. Получим решение задачи Коши с заданными начальными условиями. Доказано, что– общее решение.
Теорема. Пусть непрерывны в некоторой односвязной областиD. Тогда (1) будет уравнением в полных дифференциалах в том и только том случае, когда в этой области выполнено условие
Доказательство части "и только том случае" следует из теоремы о смешанных производных:
Пусть верно (2). Ищем функцию из условия
.
Выберем начальную точку . Из первого уравнения системы (3), интегрируя на отрезкенаходим:. Тогда
Следовательно, второе уравнение системы (3) получает вид , откуда находим. Окончательно получаем формулу вычисления потенциала
Пример. Найдем общий интеграл уравненияВо-первых проверим, что это уравнение в полных дифференциалах
Возьмём . Тогда
Откуда -- общее решение в неявном виде.