Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тема 9 Векторы

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

45.98 Кб

Скачать

☆

Векторы

Основные определения векторного исчисления
1. Понятие вектора

Вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок , одна крайняя точка которого (скажем ) объявлена началом, а другая концом. Такой вектор обозначается как . Длиной или модулем вектора называется длина отрезка ; она обозначается как . Примерами векторных величин является скорость, ускорение, сила, перемещение. Если , то вектор называется нулевым и обозначается 0. Вектора, два или более, называются коллинеарными, если прямые, на которых они лежат, либо параллельны, либо совпадают. Два вектора и называются равными, если их длины равны, они коллинеарны и сонаправлены, т. е. "смотрят" в одну сторону (см. рис. 1). Если вектора и не лежат на одной прямой, то их равенство эквивалентно тому, что четырехугольник есть параллелограмм.

Простое геометрическое построение убеждает нас, что для любого вектора и любой точки существует единственная точка такая, что . Этот вектор называется реализацией вектора в точке .

Арифметические операции над векторами

Пусть имеются два вектора . Реализуем в точке A: , а вектор реализуем в точке B: . Тогда вектор назовем суммой векторов . Это определение корректно, т. е. результат суммы двух векторов не зависит от изначально выбранной точки . Из определения суммы векторов вытекает равенство Шаля:

Равенство Шаля можно обобщить на случай многих векторов:

Существует другое определение операции суммы двух векторов -- правило параллелограмма, но оно "работает" только для не коллинеарных векторов. Пусть имеются два неколлинеарных вектора . Реализуем их в одной точке A, так что и . Достроим до параллелограмма . Тогда (см. рис. 2). Результат сложения не зависит от выбора точки . Так как на рис. 2, то сложение по правилу параллелограмма приводит к тому же результату, что и сложение по правилу треугольника.

Умножить вектор на число значит построить вектор такой, что

если , то и сонаправлены, а если , то и направлены в противоположные стороны. В случае вектор нулевой.

Вектор можно реализовать прямой ℓ в точке как вектор , где точка строиться так, что , причем, если  >0, то точка D должна лежать по ту же сторону от A, что и точка B; если же  <0, то точку D следует выбирать на прямой ℓ по другую сторону от (см. рис. 3).

Заметим, что из определения умножения вектора на число вытекает, что вектор коллинеарен ненулевому вектору тогда и только тогда, когда для подходящего числа .

Множество всех векторов в пространстве, относительно определенных выше операций сложения и умножения обладает следующими свойствами:

(коммутативность);
(ассоциативность);
(свойство нейтральности нулевого вектора относительно операции сложения);
для любого вектора существует противоположный вектор такой, что ;
(ассоциативность умножения);
и (дистрибутивность);
(унитарность).

Эти равенства верны для любых векторов и любых действительных чисел  и μ .

Разложение по стандартному базису

Рассмотрим в пространстве декартову систему координат . Обозначим через вектора единичной длины, направленные по осям соответственно. Эту упорядоченную тройку векторов называются стандартным базисом (см. рис.). Этот набор векторов ортонормирован в том смысле, что

Стандартный базис на плоскости состоит из двух векторов .

Теорема. Для любого вектора существуют единственный набор чисел называемый координатами вектора относительно стандартного базиса и такой, что

Доказательство. Сначала заметим, что если -- параллелепипед с основанием , то

Итак, пусть нам дан произвольный вектор реализованный в начале координат. Опустим перпендикуляры из конца вектора , точки на оси . Получим точки соотвественно. Достроим пирамиду

до прямоугольного параллелепипеда и применим соотношение (8):

. Так как , то для подходящего и единственным образом определенного числа (см. замечание после определения произведения вектора на число). Аналогично, и . Собирая все вместе, получаем (7) □

В координатах арифметические операции над векторами выражаются следующим образом. Пусть вектора имеют координаты и соответственно. Тогда координаты векторов и будут

соответственно.

Вектор можно проектировать на плоскость и прямую. Пусть заданы вектор и прямая или плоскость Проекции точек на обозначим . Тогда вектор назовем проекцией вектора на прямую (плоскость) . Это определение корректно, т.е. результат не зависит от реализации вектора . Более того, проекция обладает свойством линейности:

Теорема. Пусть и известны координаты точек и – и соответственно. Тогда

Доказательство. Имеет место равенство . Из определения координат вектора вытекает, что координаты вектора, реализованного в начале координат, совпадают с координатами концевой точки. Следовательно,

Аналогично доказываются оставшиеся два равенства. □

Орт и направляющие косинусы

Длина вектора выражается через его координаты следующим образом

Этоа формула есть простое следствие теоремы Пифагора.

Пусть - углы, которые образует ненулевой вектор с осями соответственно. Тогда назовем направляющими косинусами вектора .

Вектор, сонаправленный с вектором , и имеющий единичную длину, назовем ортом и обозначим .

Нетрудно видеть, что, если -- ненулевой вектор, то координаты орта имеют вид , причем они совпадают с направляющими косинусами вектора :

Зная длину и направляющие косинусы, можно найти координаты вектора по формулам

Скалярное произведение геометрических векторов

Скалярным произведением векторов называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:

Если один из векторов нулевой, то и скалярное произведение равно 0.

Это произведение называется скалярным, поскольку двум векторам сопоставляется число -- скалярная величина. Отметим свойства скалярного произведения. Сразу из определения следует (СК2) симметричность: скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей: .

Скалярным квадратом называется скалярное произведение вектора на самого себя: . Имеет место положительная определенность и невырожденность скалярного произведения: если , то .

В частности, длина вектора выражается через скалярное произведение следующим образом:

Угол между ненулевыми векторами также выражается через скалярное произведение, ибо

Если векторы ортогональны, т. е. лежат на перпендикулярных прямых, то скалярное произведение равно нулю. Очевидно, верно и обратное утверждение. Таким образом, мы получаем критерий ортогональности:

В частности, имеет место ортонормированность стандартного базиса:

СК1. Билинейность:

Действительно, равенство верно в силу симметричности скалярного произведения, а равенство доказывается, как и выше:

Вычисление скалярного произведения в координатах. Если и , то

Доказательство. Применяем билинейность и учитываем (4).

Следствие. Если вектора ненулевые, то

В частности, вектора ортогональны тогда и только тогда, когда

Векторное произведение

Тройку векторов назовем правой, если определитель

строго больше нуля. Если этот определитель меньше нуля, то тройку векторов назовем левой.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый такой, что

1) он перпендикулярен плоскости векторов ;

2) длина этого вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах , т.е.

3) тройка векторов правая

Третий пункт в определении векторного произведения можно выразить таким наглядным способом: глядя из конца вектора , вращение от кажется происходящим против часовой стрелки.

Если -- вектор силы, а -- вектор, описывающий рычаг, на конец которого действует сила , то векторное произведение дает момент силы a относительно начала вектора .