1. Свойства определённого интеграла

Монотонность интеграла.Еслидля всехи, то.

Действительно, в этом случае и переходя к пределув этом неравенстве (см. раздел «Введение в анализ»), получаем искомое соотношение между интегралами.

Как следующее свойство отметим одно простое равенство, вытекающее из определения определенного интеграла:

Оценка интеграла.Еслина отрезкеи, то

Действительно, Здесь мы последовательно применили монотонность интеграла, его линейность и равенство (1). Аналогично доказывается первое из неравенств в (2).

Например, на отрезке, что следует из монотонности функцииа значит и функции. Отсюда,

Теорема о среднем. Если функциянепрерывна на отрезке, то найдётся точкатакая, что

Величина называется интегральным средним функциина отрезке.

Доказательство. По теореме Вейерштрасса, функция на отрезкедостигает своего наибольшего значения) и наименьшего значения. Здесь-- некоторые точки отрезка. Применяя оценку интеграла (2), выводим

Интегральное среднее оказывается промежуточным значением между наименьшим и наибольшим значениями. Применим теорему Больцано-Коши о промежуточном значении к непрерывной функции и найдем точкумеждуи(значит) такую, что.□

Пример. Пусть

Тогда интегральное среднее функции (4) на отрезке равно

Однако точки такой, чтонет. Причина этого – разрыв функциив точке 1.

7. Формула Ньютона-Лейбница

Интеграл вида называют интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Пусть непрерывна на отрезке. Тогда есть первообразная функции :

для любого .

Доказательство. Пусть . Тогда по теореме о среднем

для некоторой точкиСледовательно,при, ибо в этом случае, а функциянепрерывна.□

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть -- первообразная функции. Тогда

Доказательство. Для функции имеем в распоряжении две первообразныхи. По теореме о первообразных (см.§ 1 )найдется константатакая, что

Подставим в соотношение (3) вместо сначалаи получим, а затем подставимв (3) – получим

что и требовалось доказать.

Пример. (см. пример вычисления площади в начале§6).

8. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле

Замена переменной. Пусть-- дифференцируемое отображениеcнепрерывной производной и такое, что, а-- непрерывная функция, заданная на отрезке. Тогда

Доказательство. Пусть -- первообразная функции. Тогда по формуле замена переменной в неопределенном интеграле функцияесть первообразная функции. Применим формулу Ньютона-Лейбница дважды:

-- что и требовалось доказать. □

Пример 1.Вычислим площадь верхнего полукруга радиусаR.

Интегрирование по частям. Пустьи-- дифференцируемые функции на отрезке. Тогда

Доказательство. Соотношение проинтегрируем отдоbполучимчто эквивалентно (2).

Пример 2.Вычислим

Заметим, что при условии

9. Несобственные интегралы

Пусть функция задана на полуинтервале, где, а величинаможет быть как конечным числом, так и. Предположим, чтоинтегрируема на любом отрезке,. Полагаем по определению

и называем это число несобственным интегралом. В случае, когда предел (1) существует, то говорим, что соответствующий интеграл сходится; в противном случае будем говорить, что онрасходится.

Несобственный интеграл (1) применяется в двух типичных ситуациях.

1) Пусть . Тогда

2) Пусть d∈ℝи функциянеограничена на полуинтервале.

Если на полуинтервале, то несобственный интеграл равен площади неограниченной фигуры -- криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции, снизу – осью Ох и слева – вертикальной прямой (см. рис. 1)

Отметим, что если функцияна самом деле интегрируема на отрезке(это означает, в частности, что), то коллизии обозначений не возникает -- несобственный интеграл в смысле (1) будет равен определенному интегралу функциина отрезке.

Аналогично определяется несобственный интеграл для функций, определенных на полуинтервале , гдеи:

В примере §8 мы фактически вычислили несобственный интеграл.

Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов. Пусть-- первообразная непрерывной функциина интервале (c,d). Предположим, что существуют пределы

Тогда несобственный интеграл сходится, причём

Равенство (5) вытекает из формулы Ньютона-Лейбница для обычных интегралов и соотношений (4).

Пример. Вычислим

Предложение об "эталонных" интегралах . Пусть a>0.

1. Интеграл сходится тогда и только тогда, когда p>1.

2. Интеграл сходится тогда и только тогда, когдаp<1.

Доказательство. 1. Если, то первообразнаяподинтегральной функцииимеет конечный предел 0 при. По формуле Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов, получаем, что интегралсходится и равен.

Если , то первообразной подинтегральной функции служит, который не имеет конечного предела на. Длято же самое можно сказать о первообразной.

Аналогично, прямыми вычислениями доказывает второе утверждение.

Примеры

1. Интегралсходится, так как здесь

2. Докажем, что интегралы исходятся и вычислим их. Имеем

Интеграл также сходится, ибо занесение под знак дифференциалаи заменапревращают его в интеграл, который сходится согласно предложению об эталонных интегралах и равен 1.

Интегралы ирасходятся, так как такая же замена приводит их к несобственным эталонным интегралами, с