5. Интегрирование иррациональных выражений

Далее -- рациональная функция одной или нескольких переменных.

Интегралы вида , где m/n,...,r/s -- рациональные числа с общим знаменателем k, сводятся к интегралу от рациональной функции заменой

Тогда суть рациональные выражения, следовательно, после подстановки, получается интеграл от рациональной дроби:

Вычислив этот интеграл (см. пар. 4) и сделав обратную замену , получим ответ.

Аналогично, интегралы вида

где ad-bc≠ 0, аkимеет тот же смысл как и выше, сводятся к интегралам от рациональной дроби заменой

Примеры. А. Вычислим интеграл

Б. Вычислим интеграл

Более простой метод интегрирования (но требующий догадки) этой же функции таков:

1. Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональной функции универсальной заменой

Тогда

поэтому получаем интеграл от рационального выражения

В частных случаях R(sin x) cos x dx,R(cosx)sinxdxиR(sin²x, cos²x, tg x, ctg x) dx лучше пользоваться заменамисоответственно.

Примеры. А.

Б.

1. Задачи

1. Вычислить интеграл

2. Вычислить а) б)

3. Найти а) ; б)

4. Вычислить

5. Вычислить

6. Вычислить

7. Вычислить а) ; б) ; в) ; г)

Тема 13 определенный интеграл

6. Определение определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезкеи неотрицательна. Фигура, заданная неравенстваминазывается криволинейной трапецией (см. рис. 1). Вычислим площадь криволинейной трапеции. Идея вычисления состоит в том, чтобы нарезать эту трапецию на узенькие вертикальные полоски, площадь каждой полоски считать как площадь прямоугольника, а затем сложить получившиеся результаты. Мы получим приближенный ответ. Для получения точного ответа надо брать полоски все уже и уже и перейти к пределу, когда максимальная ширина полоски стремится к нулю. Вычислим таким образом площадь под экспонентой, если. Возьмём равномерное разбиение отрезка [a,b]:

;

Тогда

Здесь использована формула суммы геометрической прогрессии, а также эквивалентность бесконечно малых при. Так как функция e^xнепрерывна, то доказано, что S=e^b-e^a.

Перейдем к точным определениям. Разбиением отрезка называется семейство точектаких, что

Параметром разбиения (обозначим его ) называется наибольшее из приращенийкогда индекспробегает от 1 до n. Пусть- функция, определенная на отрезкеи- какие-либо (отмеченные) точки из отрезков. Тогда

называется интегральной суммой.

Определение.Определённым интегралом функциина отрезкеназывается предел интегральных сумм, если параметр разбиения стремиться к нулю:

Если , то по определению полагаем. Если же, то считаем по определению

Функция называется подинтегральной,называется подинтегральным выражением. Числоназывается нижним пределом интегрирования, а– верхним пределом интегрирования.

Так как предел не всегда существует, то и определенный интеграл на отрезке существует не от любой функции. Необходимым условием существования интеграла является ограниченность функциина отрезке.Действительно, если функциянеограничена, например, сверху, то при любом разбиении, каков бы ни был малый его параметр, найдутся отмеченные точкитакие, что интегральная сумма (2) больше чем любая наперед заданная величина. Следовательно, конечного предела интегральные суммы иметь не могут.

Функцию , заданную на отрезке, для которой предел (3) существует, назовем интегрируемой (по Риману) на этом отрезке. Сумма интегрируемых функций есть интегрируемая функция и произведение интегрируемой функции на число есть также интегрируемая функция. Более того, отображение, сопоставляющее функцииинтеграллинейно. Это значит, что еслиинтегрируемы, то для любых чиселлинейная комбинациятакже интегрируема на отрезкеи

Заметим, что из определения интеграла, у которого нижний предел больше или равен верхнему вытекает, что равенство (4) справедливо вне зависимости от расположения точек ина числовой прямой.

На существование и на значение определенного интеграла не влияет изменение значения функции в конечном числе точек.

Адитивность интеграла. Пусть . Тогда функцияинтегрируема на отрезкев том и только том случае, когда она интегрируема наи на. В этом случае

Если точки расположены произвольно на числовой прямой и каждый из интегралов в (5) существует, то равенство (5) имеет место.

Доказательство. Если , то интегральную сумму на отрезкеможно разбить на две интегральные суммы – на отрезкеи на отрезке. Формула (5) вытекает по существу из свойства: предел суммы равен сумме пределов.

Рассмотрим случай расположения точек. Тогда по условию и доказанному выше имеет место равенство. Переносяв левую часть и заменяянаполучаем, что совпадает с (5). Аналогично разбираются другие случаи расположения точек.□

Теорема 2. Кусочно-непрерывная функция интегрируема на любом отрезке.