5. Сравнение бесконечно малых величин.

Две функции (x) и(x) называютсяэквивалентными при (записываем это как), если предел их отношения приравен единице. Чаще всего это определение применяют к б.м. величинам. Отношение эквивалентности функций обладает свойствами:

1. симметричность (если ∼, то и∼),

2. транзитивность (если ∼и∼γ, то∼γ );

3. рефлексивность (т.е. ∼)

Пусть теперь (x),(x) -- б.м. при. Если, то(x) называетсяб.м. высшего порядка малости по сравнению с (x); записывают это так(x)=o((x)) (читается: величина альфа есть о-малая от величины бэта). Бесконечно малыеиимеютодин порядок малости, если указанный выше предел существует и не равен 0. Отношение "иметь один порядок малости" также есть отношение эквивалентности, т.е. выполняются свойства a), b),c) выше. Если, то∼+γ . Действительно,

Предложение 1. Предел функцииприсуществует и равен A тогда и только тогда, когдадля некоторой б.м..

Доказательство. Если , тоиесть искомая б.м. В другую сторону утверждение вытекает из свойства предел суммы.

Теорема 1.Функцию можно заменять на эквивалентную без изменения предела, если она стоит в качестве сомножителя в числителе или знаменателе.

Доказательство. Пусть ∼. Тогда

Аналогичное доказательство проходит для случая, когда истоят в знаменателе.□

Пример.Далее мы покажем, что приимеет место эквивалентность x∼sin x∼tg x. Тогда

6. Первый замечательный предел

Составим теперь табличку значений функции при. Так как, то мы снова сталкиваемся с раскрытием неопределенности “0/0” .

Мы видим, что значения функции приближаются к единице по мере того, как аргумент стремится к нулю. Однако никакое алгебраическое преобразование нам не поможет раскрыть эту неопределенность. Прибегая к оценкам площадей фигур и свойствам предела, мы докажем, что

На рис. -- длина дуги. Из рисунка видно, что приимеют место неравенства

Но

Отсюда получаем неравенства . Поделим все части этого неравенства на>0, получим. Обратим дроби и выводим. Отметим также, что заодно мы доказали неравенствопри. Так как функцииичетные, то для любых ненулевыхс модулем меньше π /2 имеют место неравенства

Тогда

-- стремится к 0, откуда . Левая часть двойного неравенства в (2) также имеет предел равный 1. По теореме о пределе промежуточной функции получаем требуемое равенство.

7. Второй замечательный предел

Теорема.Существует предел функцииприи оно равен e. Это же число е равно пределу функциипри.

Докажем это равенство, используя теорему о связи предела последовательности и предела функции. Пусть -- последовательность точек, сходящихся к +∞ . Можно считать, чтодля всех n так, чтоопределено. Имеем:

Так как

и

то пределы крайних последовательностей в (4) существуют и равны основанию натуральных логарифмов e. Тогда по свойству LIM7 получаем, что предел последовательности существует и равен e.

Этот предел можно переписать и по другому:

Сделав замену получаем еще одну формулировку второго замечательного предела

1. Таблица эквивалентных б.м. приx→0

Обоснуем эти эквивалентности. Эквивалентности вытекают из первого замечательного предела. Далее

доказывает эквивалентность . Выкладка

-- доказывает эквивалентность . Здесь мы воспользовались вторым замечательным пределом и непрерывностью логарифма, которую докажем позже.

Здесь сделана замена , откуда. Аналогично, с заменой, доказываются оставшиеся эквивалентности.