Аналитическая геометрия

Оглавление

1Прямая на плоскости 1

1.1Деление отрезка в заданном отношении 2

1.2Взаимное расположение двух прямых на плоскости. 3

2Плоскость в пространстве 5

3Прямая в пространстве 6

4Кривые второго порядка 8

1Эллипс 8

2Гипербола 9

3Парабола 10

1. Прямая на плоскости

Пусть - прямая на плоскости, -- ненулевой вектор, перпендикулярный , - какая-либо точка на прямой . Тогда точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен вектору , а это имеет место в том и только том случае, когда и это эквивалентно тому, что

Итак, (1) -- уравнение прямой L, проходящей через заданную точку и перпендикулярную заданному вектору . Отсюда, обозначив , получим:

-- общее уравнение прямой на плоскости. Далее:

-- уравнение прямой, проходящей через две не совпадающие точки . Действительно, подставляя в (3) вместо координаты заданных точек, получаем верные равенства. Так как либо , либо , то (3) действительно будет уравнением прямой. Заметим, что вектор коллинеарен прямой . Соотношение (3) эквивалентно пропорции , отсюда получаем решение еще одной стандарной задачи:

-- уравнение прямой, проходящей через точку и коллинеарной заданному ненулевому вектору . Если обе равные дроби в (4) считать параметром и выразить через этот параметр, то получим

-- параметрическое уравнение прямой.

1. Деление отрезка в заданном отношении

Согласно (5) и (4) параметрическое уравнение прямой, проходящей через различные точки и имеет вид

Значению параметра соответствует точка P, а значению --- точка Q. Отсюда следует, что точки отрезка PQ описываются уравнениями с дополнительным ограничением . Поставим задачу: найти координаты точки R, делящей отрезок PQ в отношении (от точки P). Здесь m,n – неотрицательные числа, не равные 0 одновременно. Ответ таков:

В частности середина отрезка PQ имеет координаты .

Пример. Найдем уравнение срединного перпендикуляра отрезка PQ. В качестве вектора n, перпендикулярному этому срединному перпендикуляру можно взять . Получаем:

или

2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Пусть и - две прямые на плоскости. Тогда

а) пересекаются в точке тогда и только тогда, когда

б) тогда и только тогда, когда ;

в) тогда и только тогда, когда ;

г) .

д) тогда и только тогда, когда .

Утверждение а) следует из правила Крамара, примененного к системе

Расстояние от точки до прямой L, заданной общим уравнением (2), может быть вычислено по формуле:

Докажем формулу (8) взяв на прямой L точку . Вектор перпендикулярен L, а значит вектор коллинеарен L ,ибо скалярное произведение этих двух векторов равно 0. Тогда и точка принадлежит прямой L. Подсчитаем площадь параллелограмма, построенного на векторах и сначала как произведение основания на высоту, а она равна а затем как модуль векторного произведения :

или

ибо .

Полуплоскости, определяемые прямой. Пусть на плоскости задана прямая . Прямая разделяет плоскость на две полуплоскости и , задаваемые неравенствами и . Если точки и принадлежат одной полуплоскости, то и весь отрезок принадлежит этой полуплоскости. Если же точки и принадлежат разным полуплоскостям, то любая непрерывная кривая, соединяющая с пересекает прямую , а отрезок PQ пересекает L ровно в одной точке.

2. Плоскость в пространстве

Пусть π - плоскость в пространстве, -- ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости , - какая-либо точка на плоскости π . Тогда

-- уравнение плоскости π , проходящей через заданную точку и перпендикулярную заданному вектору n. Отсюда:

-- общее уравнение плоскости в пространстве. Далее:

-- уравнение плоскости, проходящей через три точки , , , не лежащие на одной плоскости.

-- уравнение плоскости, проходящей через точку и коллинеарной двум векторам , не коллинеарным между собой.

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Пусть и - две плоскости в пространстве. Тогда:

а) тогда и только тогда, когда ;

б) тогда и только тогда, когда ;

в)

г) тогда и только тогда, когда ;

Расстояние от точки до плоскости π может быть вычислено по формуле:

Полупространства, определяемые плоскостью. Пусть в пространстве задана плоскость . Плоскость π разделяет пространство на два полупространства, задаваемые неравенствами Ax+By+Cz+D>0 и Ax+By+Cz+D<0. Если точки и принадлежат одному полупространству, то и весь отрезок принадлежит этому же полупространству. Если же точки и принадлежат разным полупространствам, то любая непрерывная кривая, соединяющая с пересекает плоскость .

3. Прямая в пространстве

Пусть - прямая в пространстве, и ненулевой вектор коллинеарен прямой . Тогда тогда и только тогда, когда вектор коллинеарен вектору , а это имеет место в том и только том случае, когда для некоторого t∈ ℝ . Переходя к покоординатной записи, получаем

-- каноническое уравнение прямой в пространстве, а

-- параметрическое уравнение прямой в пространстве.

Общее уравнение прямой в пространстве имеет вид:

где вектора не коллинеарны.

Расположение двух прямых в пространстве. Пусть в пространстве заданы две прямые - L, уравнением (1), и

Тогда:

а) L=L' тогда и только тогда, когда

;

б) L∥ L' тогда и только тогда, когда

;

в) ;

г) L и L' лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда

д) L и L' скрещиваются тогда и только тогда, когда определитель в (3) не равен нулю

4. Кривые второго порядка

   1. Эллипс

Эллипс это геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек есть величина постоянная. Две точки, о которых идёт речь в определении эллипса, называются фокусами эллипса, расстояние между ними называется фокальным расстоянием. Обозначим половину фокального расстояния через , а половину суммы от точки на эллипсе до фокусов обозначим . Эта величина называется большой полуосью. Заметим, что случай c=0 не исключается, он приводит к окружности радиуса . Выберем систему координат на плоскости так, что точки -- фокусы эллипса. Обозначим также ; -- малая полуось. Очевидно, что . Тогда каноническое уравнение эллипса будет следующее

Величину называют эксцентриситетом. Ясно, что 0≤ e<1 для эллипса, и чем ближе e к 1 тем более сплюснут эллипс. Более точно, эллипс (1) получается из окружности сжатием по оси OY в раз, т.е. если точка лежит на окружности , то точка , где лежит на эллипсе (1). Отсюда, в частности, следует, что площадь эллипса равна . Точки называются вершинами эллипса. Эллипс (1) симметричен относительно оси , называемой большой или фокальной ось, а также симметричен относительно оси (малая ось).

Пусть -- точка на эллипсе. Расстояния называются фокальными. Можно доказать, что .

2. Гипербола

Гипербола есть геометрическое место точек на плоскости, модуль разность расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, обозначаемая, как и выше, через . Так же как для эллипса, обозначим через c -- половину фокального расстояния. Но для гиперболы ; поэтому определена величина . Расположим фокусы гиперболы также как и для эллипса. Тогда каноническое уравнение гиперболы будет такое:

Эксцентриситет для гиперболы определяется также как и для эллипса: , но он уже больше 1 и чем ближе к 1, тем более сплюснута гипербола. Гипербола, в отличии от эллипса, неограниченная линия на плоскости. Она имеет пару асимптот:. Координатные оси являются осями симметрии гиперболы. Если , то гипербола называется равнобочной. В координатах,

повернутых относительно канонических координат (см. (1)) на , уравнение равнобочной гиперболы приобретает вид или -- известная из школы функциональная обратно пропорциональная зависимость. Мы видим, что гипербола имеет две ветви -- левую и правую.

Пусть -- точка на гиперболе. Расстояния называются фокальными. Можно доказать, что при и при .

3. Парабола

Парабола -- геометрическое место точек на плоскости, расстояния которых до фиксированной точки (фокус параболы) и до фиксированной прямой (директрисса параболы) равны. Если обозначить расстояние от фокуса до директриссы через p, (p>0 по определению), поместить фокус в точку а директрису отождествить с прямой x=-p/2, то каноническое уравнение параболы будет выглядеть так:

Действительно, точка принадлежит параболе в точности тогда, когда

Парабола (1) имеет ось OX своей осью симметрии. Точка O(0,0) - начало координат, будет левой крайней точкой параболы (1). Она называется вершиной параболы. У параболы также есть эксцентриситет, он равен 1 и не зависит от p.