- •Оглавление
- •Системы линейных уравнений с одним идвумя неизвестными
- •Системы с тремя неизвестными
- •Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •Исследование системы по ступенчатому виду.
- •Матричное исчисление
- •Произведение матриц
- •Подстановки
- •Определители
- •Вычисление определителей некоторых матриц
- •Правило Крамара
- •Обратная матрица
Системы. Матрицы. Определители
Оглавление
1Системы линейных уравнений с одним идвумя неизвестными 1
2Системы с тремя неизвестными 6
3Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. 6
3.1Исследование системы по ступенчатому виду. 9
4Матричное исчисление 11
4.1Произведение матриц 12
5Подстановки 13
6Определители 14
7Вычисление определителей некоторых матриц 18
8Правило Крамара 19
9Обратная матрица 21
Системы линейных уравнений с одним идвумя неизвестными
Общий вид линейного уравнения с одним неизвестным следующий:
Здесь икакие-то действительные числа. Мы ищем все решения уравнения (1), т.е. такие числа, при подстановке которых вместо, получается слева в (1) то же число, что и справа. Сформулируем ответ.
Случай 1: Тогда решение единственно и равно.
Случай 2: , но. Тогда решений нет или, по-другому, множество решений пусто.
Случай 3: . Тогда множество решений -- вся числовая ось, т.е. все множество действительных чиселℝ.
Перейдем к одному уравнению с двумя неизвестными
Случай 1: . Тогда уравнение (2) эквивалентно функциональной зависимости, графиком которой служит наклонная прямая на плоскости.
Случай 2: , но. Тогда уравнение (2) эквивалентно. Множество точек на плоскости, удовлетворяющих этому соотношению есть вертикальная прямая.
Случай 3: , но. Тогда решений нет.
Случай 4: . Тогда все пары чисел являются решениями.
Перейдем теперь к линейной системе 2×2 с неизвестными и. Общий вид её следующий:
Фигурная скобка слева в (3) заменяет союз "и". Нам надо найти все пары чисел , при подстановке которых в первоеиво второе уравнение системы (3) получаются верные числовые равенства. Исключим неизвестноеиз системы (3). Для этого первое уравнение умножим на, второе -- на, и вычтем из полученного первого уравнения получившееся второе уравнение. Далее исключим неизвестноеиз системы (3), для чего первое уравнение умножим на, второе -- на, и вычтем из полученного второго уравнения первое. Получим следующую систему:
Система двух уравнений (4) является следствием системы (3). Это значит, что равенства (4) верны, коль скоро пара есть решение системы (3). Если внимательно присмотреться к коэффициентам системы (4), то можно заметить, что все они составлены по одному и тому же правилу. Назовём следующую конструкцию
2×2-матрицей с коэффициентами , а числоназовем ее определителем и будем записывать так:
Определитель (5) также называют определителем системы (3). Будем обозначать этот определитель прописной греческой буквой Δ ("дельта"). Правые части уравнений (4) также являются определителями, но уже других матриц. Обозначим их следующим образом:
Итак, следствием системы (3) является "распадающаяся" или диагональная система
которую мы уже знаем как решать.
Случай 1: . Тогда система (4) имеет единственное решение
Оказывается, что (6) в случае есть единственное решение системы (3). Эта формулировка правила Крамара для системы 2× 2. Мы сформулировали правило Крамара, но доказали лишь единственность решения (6), а сам факт, что (6) есть решение системы (3) установить можно прямой проверкой:
Аналогично проверяется, что пара чисел является решением и второго уравнения системы (3).
Случай 2: , но либо, либо. Тогда одно из уравнений системы (4) не имеет решения. Отсюда немедленно вытекает, что система (3) не имеет решений, так как (4) есть следствие системы (3).
Случай 3: . Конечно, в этом случае система (4) имеют решениями все пары чисел. Но это не значит, что любая пара чисел является решением исходной системы (3). Например, в системевсе определителиравны нулю, но решением ее будет биссектриса второго и четвертого квадрантов.
Если , то второму уравнению удовлетворяет любая пара чисел, так что его без ущерба для множества решений можно выбросить из системы. Но тогда мы возвращаемся в уже исследованный случай одного уравнения с двумя неизвестными.
Считаем теперь, что тройка ненулевая, т.е. по крайней мере, одна из компонент этой тройки есть ненулевое число. Тогда равенстваможно переписать как пропорции:
Не следует смущаться, если в знаменателе пропорции окажется ноль. По определению пропорция имеет место, если накрест лежащие произведения равны:. Обозначим общее отношение (7) греческой буквой("лямбда"). Тогда тройка коэффициентовполучается из тройкиумножением нав том смысле, что. А это означает, в свою очередь, что если мы ко второму уравнению системы (3) прибавим первое уравнение, предварительно умноженное на, то придем к системе вида
Система (3) в свою очередь может быть получена из системы (8) обратным преобразованием: надо ко второму уравнению системы (8) прибавить первое, умноженное на 1/. (Если бы было=0, тои мы бы начинали с отбрасывания первого уравнения). Это значит, что системы (3) и (8) имеют одно и то же множество решений, или как мы будем говорить, они эквивалентны. Понятно, что система (8) проще устроена, чем (3), и мы будем решать именно ее. Как уже отмечалось, нулевое уравнение можно отбросить, и мы снова возвращаемся к случаю одного уравнения с двумя неизвестными.
Мы полностью решили систему 2×2. Подведем итог. В случае отличия от нуля определителя системы, решение единственно. Если же , то решений может не быть вовсе, либо может быть бесконечное множество решений, образующих прямую на декартовой плоскости. В случае равенства нулю всех коэффициентов, множество решений заполняет всю плоскость.
Мы не случайно в последнем абзаце прибегнули к геометрии. Если есть возможность какой-либо математический объект истолковать геометрически, то этой возможностью надо обязательно воспользоваться. То, что такая возможность есть для системы 2×2, показывает следующая таблица (в этой таблице предполагается, что пары коэффициента иненулевые.
Аналитический язык
|
Геометрический язык |
Пара чисел |
Точка на плоскости |
Уравнение () |
Прямая на плоскости |
Решение системы (3) |
Поиск пересечения двух прямых – и |
Решение системы (3) единственно () |
Прямые ипересекаются |
Система (3) решений не имеет |
Прямые ипараллельны |
Система (3) имеет бесконечное множество решений |
Прямые исовпадают. |