1. Исследование системы по ступенчатому виду.

Предположим, что система линейных уравнений приведена к ступенчатому виду:

Здесь -- неизвестные, стоящие в углах ступенчатого вида. Их мы будем называть главными. Остальные неизвестные (их может и не быть) называются свободными. По определению ступенчатого вида имеем:.

Вообще-то, в ступенчатом виде могут присутствовать нулевые уравнения, то есть уравнения вида . Но их можно отбросить (см. элементарное преобразование четвертого типа).

Обсудим сначала случай, когда система не имеет решения.

Если в процессе приведения к ступенчатому виду или в самом ступенчатом виде встретилось уравнение

где , то это уравнение не имеет решения, а, значит, и исходная система несовместна.

Считаем далее, что уравнение вида (4) нам не встретилось.

Число ненулевых уравнений может быть меньше или равно числу неизвестных, но не может превосходить n. Действительно, каждая ступенька имеет ширину ≥ 1, следовательно, общая ширина ступенек больше чем число ненулевых уравнений, а с другой стороны общая ширина ступенек вместе с последней не может превосходить n.

Завершает решение системы обратный процесс. Это серия элементарных преобразований уравнений системы (3), начиная с последнего, позволяющая записать главные неизвестные через свободные в виде линейной комбинации. Сначала выражают через все последующие неизвестные, пользуясь последним, m-ым уравнением:

(Если , то это выражение имеет вид:). Далее, применяя элементарные преобразования 1 типа, зануляют все коэффициенты в (3), стоящие над коэффициентомточно также как мы это делали в "прямом" процессе приведения системы к ступенчатому виду (см. доказательство теоремы 1). Тогда из получившегося последнего уравнения выражают предпоследнее главное неизвестное через оставшиеся свободные неизвестные и так далее пока не доберемся до первого главного неизвестного и не выразим его через свободные неизвестные. Итак, мы видим, что если в ступенчатом виде все неизвестные главные (m=n), то система определена. Если же имеются свободные неизвестные, то общее решение получается обратным процессом, выражающим главные неизвестные через свободные. При этом свободные неизвестные играют роль параметров, "свободно" и независимо друг от друга пробегающих множество чисел. В этом случае система неопределена. Формулы, выражающие неизвестныечерез параметры задают общее решение системы, и число параметров называется размерностью пространства решений.

Исследование системы по ступенчатому виду, как и изложение метода Гаусса закончено.

Рассмотрим теперь важный частный случай однородной системы, т.е. случай когда все -ые в правой части (1) равны 0. Такая система заведомо совместна, поскольку строка из нулей -- (0,0,… ,0) является решением. Критерий существования ненулевого решения дает следующая теорема, представляющая из себя непосредственное следствие метода Гаусса.

Теорема.Однородная система имеет ненулевое решение, т.е. является неопределенной в том и только том случае, когда после приведения к ступенчатому виду число ненулевых уравнений меньше чем число неизвестных. В частности это так, если изначальная однородная система имела число уравнений меньше чем число неизвестных.