2. Свойства предела функции

Следующие свойства предела функции вытекают из аналогичных свойств предела последовательности с применением теоремы 2.

LIM1. Константная функция имеет предел, равный этой же константе

Пусть существую пределы . Тогда

LIM2. Предел суммы существует и равен сумме пределов:.

LIM3. Предел произведения существует и равен произведению пределов:. В частности, константу можно выносить за знак предела.

LIM4. Предел отношения существует и равен отношению пределов в том случае, когда предел знаменателя отличен от 0.

Следующие свойства LIM5-LIM7 описывают предельный переход в неравенствах.

LIM5. Еслипри любом x из некоторой малой окрестности точки a, то и(при условии существования предела). Аналогично свойство имеет место для неравенства "≤ ".

Как следствие предыдущего свойства получаем монотонность предела:

LIM6. Предположим, чтодля любогоблизкого к a. Тогда ипри условии существования этих пределов.

Следующее свойство называется теоремой о пределе промежуточной функции

LIM7.(предел промежуточной функции)Предположим, чтодля любогоиз некоторой проколотой окрестности точки. Предположим также, что пределыисуществуют и совпадают между собой. Тогда и предел промежуточной функцииприсуществует и совпадает с пределами крайних функций.

LIM8. (предел сложной функции) Предположим, что

• существует предел равный;

• существует предел .

Тогда существует предел сложной функции прии он равен A.

Доказательство. Фиксируем . Находимтакое, чтодля любого. Для этогонаходимтакое, что как только, то. Тогда и неравенствотакже будет выполнено для любого, удовлетворяющего неравенствам.□

4. Бесконечно малые величины

Функция , определенная в некоторой проколотой окрестности точкиназывается бесконечно малой при, если.

Свойства бесконечно малых величин вытекают из соответствующих свойств предела:

M1. Сумма бесконечно малых величин суть бесконечно малая величина.

Функция называется ограниченной в точке, если найдется такая окрестность этой точки и такая константа, чтодля всехиз этой окрестности.

Предложение.Функция, имеющая предел в точке, ограничена в этой точке. Более того, если, тоограничена в точке a.

Доказательство. Если для любых, то для любыхиз -окрестности точкиимеет место оценка

Докажем второе утверждение. Полагаем . Для𝜺=A/2 найдем δ такое, что. Тогдаидля всех x из δ-окрестности точки. Аналогично разбирается случай A<0.□

M2. Произведение бесконечно малой величины на функцию, ограниченную в точке, является бесконечной малой величиной. В частности, произведение б.м. на функцию, имеющую предел в точкесуть также б.м., а также произведение нескольких б.м. есть б.м.

М3. Произведение б.м. на константу есть б. м.

M4.Отношение б.м. к функции, имеющий ненулевой предел в точкеявляется б.м.

Действительно, если , тоограничена в точке a по выше доказанному в предложении. Следовательно, на основании свойства М2 получаем, чтотакже есть б.м.

М5. Пусть(x) - бесконечно малая при, а-- функция такая, что выполняется неравенстводля всех x из достаточно малой проколотой окрестности точки. Тогдатакже будет б.м.

Это свойство верно в силу теоремы о пределе промежуточной функции.