Предел и непрерывность.

Оглавление

1Предел последовательности вещественных чисел 1

1.1Свойства предела 4

1.2Сумма ряда 6

2Число е 7

3Предел функции 8

Примеры 8

3.1Определение и свойства предела функции. 9

3.2Свойства предела функции 12

4Бесконечно малые величины 14

5Сравнение бесконечно малых величин. 15

6Первый замечательный предел 17

7Второй замечательный предел 18

7.1Таблица эквивалентных б.м. при x→ 0 19

8Непрерывность функции 20

8.1Свойства непрерывных функций 20

9Непрерывность на отрезке 22

9.1Принцип непрерывности 26

1. Предел последовательности вещественных чисел

Неравенство задает интервал, который называется𝜺 -окрестностью точки (числа) Заметим, что любой интервал, содержащий точку, включает в себя-окрестность при достаточно малом

Последовательностью называется ряд чисел

занумерованный натуральными числами (или целыми неотрицательными числами). Формально, последовательность есть отображение . Числоназываетсяn-ым членом (или общим членом) последовательностиОчень часто он задается аналитическим выражением.

Примеры последовательностей

а) константная последовательность: ;

б) . Общий член задается формулой.

в) . Общий член задается формулой.

г) . Эта последовательность видаВидно, что эта последовательность монотонно возрастает.

Определение.Числоназываетсяпределом последовательности, если для любого положительного𝜺найдется натуральное N такое, чтодля всех.

Пример 1.Докажем, что. Возьмём𝜺>0. Неравенствовыполнено, если n>1/𝜺. В качестве N(𝜺) можно взять [1/𝜺]+1 -- наименьшее натуральное число, превосходящее 1/𝜺. Здесь черезобозначена целая часть числа, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее.

Пример 2.Докажем, что последовательностьне имеет предела. Действительно, пусть-- предел этой последовательности. Тогда дляи достаточно большогоимеют место неравенстваи. Иными словами. Отсюда-- противоречие.

Предложение 1.Если предел существует, то он единственен.

Доказательство. Пусть числа A и B равны пределу . Если, то взявполучим непересекающиеся окрестностии. Но согласно определению предела, начиная с некоторогов первую окрестность попадают всеи начиная с некоторогово вторую попадают все. Возьмем. Тогда– общая точка этих окрестностей; противоречие. Противоречие показывает, что предположениеневерно. Следовательно,.

После доказательства единственности предела имеем право ввести оператор предельного перехода: .

Теорема 1.Любая монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательностьимеет предел и он равен. Аналогично, любая монотонно убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел равный точной нижней грани множества значений этой последовательности.

Доказательство. Пусть -- монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность. Обозначим. Пусть𝜺>0. Так как число u-𝜺не является верхней гранью значений нашей последовательности, то найдется натуральное N такое, что. Тогда для любого n≥ N имеем

в силу монотонности последовательности и того факта, что u -- верхняя грань. Отсюда для любого натурального следует неравенство<𝜺, что и требовалось доказать.□

1. Свойства предела

ПР1.Предел суммы двух последовательностей равен сумме пределов, если пределы слагаемых существуют.

Пусть ,. Фиксируем𝜺>0. Находимтакое, что для любоговыполняется неравенство. Аналогично, находимтакое, что для любоговыполняется неравенство. Тогда для любоговыполняется оценка

ПР2.Предел константной последовательности равен этой константе.

Последовательность называется ограниченной, если найдется константатакая, чтодля всех.

ПР3. Любая сходящаяся последовательностьограничена.

Действительно, пусть . Для𝜺=1 найдем натуральное N, начиная с которого выполняется неравенство. Тогда

что и требовалось доказать.

ПР4.Предел произведения равен произведению пределов, при условии, что пределы сомножителей существуют.

Доказательство. Пусть и. Ограничим последовательностьчислом M>0 согласно свойства ПР3. Будем иметь:

Так как величины имогут быть сделаны сколь угодно малыми, то итакже можно сделать меньше наперед заданного𝜺для всех n, начиная с некоторого натурального N.

ПР5.Константу можно выносить за знак предела:

Это утверждение есть следствие свойств ПР4 и ПР2.

ПР6.Предел отношения равен отношению пределов, если пределы числителя и знаменателя существуют и последний не равен нулю.

Достаточно доказать, что в предположениии далее применить свойство Г. Из условия следует, что найдется N начиная с которого. Тогда модуль разности

может быть сделан сколь угодно малой величиной начиная с некоторого N. □

На основе предела можно вычислять другие пределы, пользуясь уже не определением, а правилами ПР1-ПР6. Например,

Опишем теперь предельные переходы в неравенствах.

ПР7.Если выполняется неравенствоначиная с некоторого N, и предел последовательностисуществует, то. Аналогичное свойство имеет место для неравенства ≤ .

Действительно, если , то длянайдется N, начиная с которого. Тогда-- противоречие с условием.□

Заметим, что для строгих неравенств аналогичное утверждение несправедливо. Например, 1/n>0 для любого n, но lim 1/n=0, как мы доказали выше.

ПР8. Если выполняется неравенствоначиная с некоторого N, топри условии, что эти пределы существуют.

Действительно, так как для всех, тосогласно свойства ПР7. Тогда, применяя свойства ПР1 и ПР5, получим:

ПР9 (предел промежуточной последовательности). Еслиначиная с некоторого номера, а пределы крайних последовательностей существуют и равны одному и тому же числу A, то пределтакже существует и равен A.

Доказательство. Пусть число 𝜺>0 задано. Тогда найдется номер N такой, чтоиначиная с N. Отсюда

Пример. Докажем, что если, то. В силу монотонного убыванияи ограниченности снизу нулем, предел этой последовательности существует по теореме о пределе монотонной последовательности. Применяя принцип Архимеда, получаем, чтосколь угодно близко подходит к 0. Тогда.