Для машиностроения Мех.мат / Лекция №24-механика

Лекция №24

Тема: Динамические нагрузки

Вопросы:

1. Общие сведения о расчете динамических нагрузок

2. Учет сил инерции при динамических нагрузках

3. Расчет на удар

1. Общие сведения о расчете динамических нагрузок

Динамическими называют нагрузки, которые быстро изменяют свою величину или направление или точку приложения, в результате чего возникают колебания системы. Поэтому при расчете необходимо учитывать силы инерции, зависящие как от массы самого сооружения, так и от массы нагрузки.

Силы инерции в свою очередь вызывают дополнительные деформации и напряжения. Иногда эти дополнительные напряжения весьма велики и могут в несколько раз превышать напряжения от основных сил.

Расчет элементов сооружений на динамическую нагрузку более сложный, чем расчет на статическую нагрузку. Трудность заключается, с одной стороны, в более сложных методах определения внутренних усилий и напряжений, возникающих от действия динамической нагрузки, и с другой - в более сложных методах определения механических свойств материалов при динамической нагрузке.

Например, при действии ударной нагрузки (т.е. нагрузки чрезвычайно малой продолжительности) многие материалы пластичные при статической нагрузке, при динамической проявляли себя, как хрупкие.

Обычно, при рассмотрении динамических нагрузок выделяют, следующие три вида задач: 1)учет сил инерции; 2) удар; 3) колебания.

2. Учет сил инерции при динамических нагрузках

Общим приемом решения всех задач, связанных с учетом сил инерции, является принцип Д'Аламбера: необходимо приложить силу инерции к телам, движущимся с ускорением, и рассматривать систему как статически уравновешенную.

Рассмотрим пример. Пусть лифт весом G поднимается с ускорением а. Определить усилие и напряжение в тросе (см. рис. 1). Весом троса пренебречь.

Если лифт неподвижен или движется равномерно, то в его сечении будет возникать продольная сила, равная весу лифта:

N=G

Рис. 1

При подъеме лифта с ускорением, возникнет сила инерции, равная произведению массы на ускорение и направленная в сторону, противоположную ускорению:

где q - ускорение свободного падения.

Поэтому при подъеме лифта с ускорением усилие в тросе N_d будет:

(1)

а напряжение:

где - динамическое напряжение.

При статическом нагружении:

Если заменить

где K_d - динамический коэффициент, то

Динамическое напряжение больше статического в K_d раз.

3. Расчет на удар

Рассмотрим случай продольного удара груза по неподвижному, грузу. Пусть груз весом G падает с высоты h на неподвижный стержень (см. рис.2). В результате падения груз приобретает какую-то скорость, которая за очень короткий отрезок времени сводится к нулю при ударе. Теоретически трудно определить ускорение (замедление), а следовательно, и величину силы инерции. Поэтому применим другой путь решения задачи, основанный на законе сохранения энергии. Сделаем следующие допущения:

1. Напряжения при ударе не превосходят предела пропорциональности, так что закон Гука сохраняет свою силу.

2. Тела после удара не отделяются друг от друга.

3. Масса ударяемого стержня считается малой по сравнению с массой ударяющею тела, поэтому в расчет не принимается.

4. Потерей части энергии, перешедшей в теплоту и в энергию колебательного движения соударяющихся тел, пренебрегаем.

Приравняем работу падающего груза и потенциальную энергию деформации.

Работа, совершаемая весом падающего груза:

,

где - динамическая деформация бруса.

Рис. 2

Потенциальная энергия деформации согласно формуле (2) равна:

где V – объем бруса, V=l  A.

Так как:

то

или

Разделив обе части этого уравнения на ЕА, и умножив на 2l, получим:

где - укорочение стержня от статически приложенной силы G.

Тогда:

Решив это уравнение относительно получим:

Оставляя знак "плюс" (решение со знаком "минус" перед радикалом противоречит динамическому смыслу задачи), получаем окончательно:

(3)

где K_d - динамический коэффициент.

, (4)

Согласно закону Гука линейные деформации прямо пропорциональны нормальным напряжениям. Поэтому:

(5)

Из формул (3) и (5) видно, что динамические деформации и напряжения зависят от величины статической деформации ударяемого тела. Чем больше статическая деформация, тем меньше динамические напряжения.

Вот почему для смягчения удара применяют прокладки (резиновые, пружинные), дающие большие деформации.

Аналогичный вид имеют формулы и для случая поперечного (изгибающего) удара, только вместо следует принимать статический прогиб балки в месте удара – , а вместо – .

Рассмотрим частные случаи:

1. Если h=0, т.е. имеет место внезапное нагружение, то из формулы (4), получим:

Т.е. напряжения будут в 2 раза выше, чем при статическом нагружении.

2. Если высота падения h значительно больше статической деформации , то динамический коэффициент равен:

,

В случае учета носа ударяемого бруса динамический коэффициент определяется по формуле:

(6)

где  –коэффициент приведения массы, ,

– вес ударяемого тела.

Величина  зависит от способов закрепления стержня и вида удара (продольный или поперечный удар).