Для машиностроения Мех.мат / Лекция №4-механика

Лекция №4

Тема: «Внутренние усилия в поперечных сечениях стержня»

Вопросы:

1. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

2. Построение эпюр Q и М по характерным точкам

1. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Для балки, приведенной на рис. 4 (лекция 3) построим эпюры Q и М. Реакции опор мы уже определили. Вначале определим значения Q по длине балки.

На отрезке между точками А и В возьмем сечение на расстоянии z, от левого конца балки. Поперечная сила для этого сечения равна алгебраической сумме всех внешних сил, приложенных к левой части балки. На эту часть балки действует сила R_A, поворачивающая сечение по часовой стрелке, т.e. положительная и распределенная нагрузка q на участке z₁, поворачивающая сечение против часовой стрелки, а следовательно, отрицательная.

Рис.1

Q₁=R_A-qz₁=30-20z₁.

Это уравнение наклонной прямой. Для ее построения нужно знать две точки на прямой. Определим значения Q на границах участка, т.е. в сечениях А и В.

при z₁=0; Q₁=30 кН;

при z₁=2 м; Q₁ =30-202 = –10 кН.

Проводим нулевую линию Q и наклонную прямую по значениям Q₁. Наклонная прямая пересекла нулевую линию, в точке пересечения Q₁=0. Как известно из курса высшей математики, если первая производная какой-либо функции равна нулю, то функция при этом значении аргумента имеет экстремум (максимум или минимум). Поперечная сила является первой производной от изгибающего момента, следовательно, в сечении, где Q₁=0 изгибающий момент будет экстремальным. Его значение нам нужно обязательно определить, так как оно может быть самым большим для балки и по нему будет производиться расчет на прочность. Для этого определим значение z₁, при котором Q₁=0;

Q₁=30-20z₁=0;

z₁=1,5 м.

Второе сечение возьмем между точками Д и С, будем рассматривать правую часть балки. Это облегчит нам подсчеты. На нее действуют внешний момент m и сила R_Д. Момент - это пара сил, т.е. две равные и противоположно направленные силы, поэтому его не учитываем. Сила R_Д действует против часовой стрелки, поэтому будет создавать отрицательную поперечную силу:

Q₂=-R_Д=-50 кН.

Это уравнение горизонтальной прямой. Проводим на эпюре эту прямую на участке ДС.

Третье сечение берем тоже справа между точками С и В. На правую часть действуют: против часовой стрелки R_Д (отрицательная) и по часовой стрелке F (положительная).

Q₃=-R_Д+F=-50+40=-10 кН.

Это уравнение тоже представляет собой горизонтальную прямую. Строим ее на участке СВ.

Эпюра Q построена.

Проверка: Значения поперечных сил для левой и правой частей балки должно совпасть, если в этом сечении не приложена сосредоточенная сила. Если же сосредоточенная сила приложена, то значения Q должны различаться на величину этой силы. В сечении В значения Q совпадают, и там нет сосредоточенной силы.

Строим эпюру М.

Изгибающий момент в сечении численно равен алгебраической сумме всех внешних моментов, вычисленных относительно сечения и приложенных к рассматриваемой части балки.

Для первого сечения М определится как сумма моментов от R_A и от q. Момент от R_A стремится изогнуть балку выпуклостью вниз (положительный), а распределенная нагрузка  вверх (отрицательный момент).

.

Момент от равномерно распределенной нагрузки определяется как произведение q на отрезок z (получается сосредоточенная сила) и на плечо этой силы, т.е. .

Это уравнение параболы, так как z во второй степени. Параболу строят по двум граничным точкам дугой навстречу нагрузке. Если парабола имеет экстремум, то дополнительно ищут третью (экстремальную) точку. В данном примере нужно найти три точки параболы:

при z₁= 0, М₁ = 0;

при z₁=2 м, М₁=302-102²=20 кНм;

при z₁=1,5 м, М₁=301,5-101,5²=22,5 кНм.

По полученным точкам строим параболу на эпюре М.

Во втором сечении изгибающий момент вызывают два момента: m и сила R_Д. Момент m стремится согнуть балку выпуклостью вверх (отрицательный), а сила R_Д, наоборот  вниз (положительный момент).

M₂=R_Дz₂ -m=50z₂-40.

Это уравнение наклонной прямой. Определим граничные значения M₂:

при z₂ = 0 , M₂= -40кНм;

при z₂=1м, M₂= 10кНм.

Проводим прямую на эпюре М.

На третьем отрезке балки возникают три момента: m, момент от R_Д и момент от F.

M₃= -m+ R_Дz₃-F(z₃-1)= -40+50z₃-40(z₃-1).

Уравнение упрощать не следует, так как при нахождении граничных значений пользоваться этой формулой будет удобнее. Подставим граничные условия.

при z₃ = 1м, M₃= -40+50-0=10кНм;

при z₃=2м, M₃= -40+502-40(2-1)=20кНм.

Проводим прямую на эпюре М по участку СВ. Эпюра М построена.

Проверка: Значения изгибающих моментов для левой и правой частей балки должны совпасть, если в этом сечении не приложен внешний момент: если же приложен, то должны различаться на величину этого момента.

В сечении В нет внешнего момента и значения для левой и правой частей балки совпадают, следовательно, эпюра М построена правильно.

Кроме этого, возможна еще одна проверка. Если рассматривать эпюру М слева направо, то при возрастании М значения Q  положительные и, наоборот, с убыванием М поперечная сила отрицательная. Это следует из законов дифферинциального исчисления: если функция убывает, то первая производная отрицательная и наоборот.

Опасным считается сечение, где изгибающий момент максимален без учета знака (безразлично с точки зрения прочности изгибать балку вниз или вверх). Из эпюры видим, что опасное сечение будет в точке Д, знак "минус" отбрасывают:

M_max=40кНм.

Экстремальное значение М на первом участке оказалось меньше этого значения, но, не решив задачу, нельзя было этого установить, поэтому экстремальные значения М всегда следует определять.

2. Построение эпюр Q и М по характерным точкам

Построение эпюр по характерным точкам значительно упрощает решение задачи, но для этого следует запомнить следующие правила:

А. Для эпюры Q:

1. На участках балки, где приложена равномерно распределенная нагрузка эпюра представляет собой наклонную прямую. Это следует

2. На участках, свободных от нагрузки эпюра изображается горизонтальными прямыми.

3. В сечении, где приложена внешняя сила эпюра делает скачок на величину этой силы.

4. Внешний момент на эпюру влияния не оказывает.

5. B концевом сечении поперечная сила равна сосредоточенной, приложенной в нем.

Б. Для эпюры М:

1. На участке с равномерно распределенной нагрузкой эпюра представляет собой параболу, направленную выпуклостью навстречу нагрузке. Это следует из условия:

2. На участке, свободном от нагрузок, эпюра представляет наклонную прямую, в частном случае горизонтальную прямую (Q должно быть равно нулю). Это следует из условия:

3. В сечении, где приложен внешний момент, эпюра делает скачок на величину этого момента.

4. В концевых сечениях балки изгибающий момент равен нулю, если не приложен внешний момент: если же приложен  то значению этого момента.

5. В сечениях, где начинается или кончается распределенная нагрузка эпюра плавно переходит от прямой к параболе и наоборот.

6. В сечениях, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент экстремален.

Рассмотрим пример (рис. 2).

Определим реакции опор:

Рис. 2

Проверка:

Реакции определены правильно.

Построим эпюру Q. Построение будем осуществлять слева. Согласно п.5 в сечении А поперечная сила равна , причем знак «плюс», так как сечение сила поворачивает по часовой стрелке. Откладываем значение 25 кН.

Согласно п.1 на участке, где равномерно распределенная нагрузка, эпюра изображается наклонной прямой. Следует определить, будет возрастать Q или убывать. Нагрузка q действует вниз, следовательно, для левой части балки будет поворачивать сечение против часовой стрелки и Q будет убывать. Определим Q в точке В:

Q=R_A-q1=25-401=-15кН.

Наклонная прямая пересекает нулевую линию. В точке пересечения будет экстремальное значение М. Определим z при котором Q равно нулю:

Q=R_A-qz=0;

25-40z=0;

Участок ВС свободен от нагрузки, поэтому согласно п.2 эпюра изображается горизонтальной прямой.

Согласно п.4 внешний момент не влияет на эпюру, а согласно п.3 в сечении, где приложена сосредоточенная сила, эпюра делает скачок на величину этой силы. В точке С есть сила R_С=45кН. Эта сила поворачивает сечение по часовой стрелке (положительная), поэтому откладываем 45 кН вверх.

На участке СД, свободном от нагрузки, согласно п.2. будет горизонтальная прямая.

Проверка: Будем рассматривать балку справа. В сечении Д согласно п.5 поперечная сила будет равна F, причем положительная (по часовой стрелке). Значения Q при рассмотрении слева и справа для точки Д совпали, следовательно эпюра Q построена правильно.

Построим эпюру М.

Начнем слева. Согласно п.4 в точке А изгибающий момент равен 0.

Согласно п.1 на участке АВ эпюра изображается параболой выпуклостью вверх. В точке В изгибающий момент равен:

M=R_A1-q10,5=25-400,5=5кНм.

Экстремальное (максимальное для участка АВ) значение:

М=R_A0,625-q0,625=7,81кНм.

Согласно п.2 на участке, свободном от нагрузки эпюра изображается наклонной прямой:

M_С=R_A2-q11,5=252-4011,5=-10кНм.

Дальнейшее построение эпюры будем осуществлять справа. Согласно п.4 в концевом сечении M=0, а на участке ДС будет наклонная прямая (п.2).

M_С=-301=-30 кНм.

Знак " минус" взят потому, что балка от силы F изгибается выпуклостью вверх.

Проверка: Значения изгибающих моментов для левой и правой частей балки должны совпасть, если в этом сечении нет внешнего момента. В точке С приложен внешний момент m=20кНм, поэтому значения должны различаться на эту величину. Следовательно, эпюра построена правильно. Согласно п.5 в точке В будет плавный переход от параболы к прямой, если эпюра построена в масштабе.

Опасным будет сечение С:

M_max=30кНм.