Для машиностроения Мех.мат / Лекция №23-механика

Лекция №23

Тема: «УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ»

Вопросы:

1. Понятие об устойчивости и критической силе

2. Формула Эйлера для критической силы

3. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

4. Рациональные формы сечений сжатых стержней

1. Понятие об устойчивости и критической силе

Несущая способность сжатого стержня может оказаться исчерпанной вследствие потери устойчивости, т.е. в результате выпучивания, которое происходит раньше, чем стержень выйдет из строя непосредственно от сжатия.

При малой сжимающей силе, меньшей некоторого критического значения , сжатый стержень находится в устойчивой форме равновесия. Если его вывести из состояния равновесия незначительной горизонтальной силой, а затем эту силу убрать, то он распрямится.

Вторая форма равновесия соответствует случаю, когда .

При прямолинейная форма сжатого стержня неустойчива и если вывести его из состояния равновесия, а затем убрать боковую нагрузку, то он полностью не распрямится, т.е. у него будет криволинейная форма равновесия. Такой стержень теряет устойчивость.

Потеря устойчивости весьма опасна с точки зрения прочности стержня и всей конструкции в целом. Незначительные повышения нагрузки вызывают значительные перемещения точек, т.е. изгиб стержня. В результате возникает изгибающий момент и связанные с ним нормальные напряжения. Это может привести к дальнейшему изгибу и разрушению стержня. Изгиб стержня от сжимающей силы называется продольным изгибом. Продольный изгиб может уменьшать несущую способность стержня в десятки раз.

Появление продольного изгиба опасно тем, что при нем происходит очень сильное нарастание прогибов при малом возрастании сжимающей силы. Прогибы и нагрузки связаны между собой нелинейной зависимостью. Быстрое нарастание прогибов вызывает быстрое нарастание напряжений от изгиба, которые в свою очередь приводят к ускорению деформаций и часто к разрушению стержня.

Для тонких (гибких) стержней потеря устойчивости часто наступает при сравнительно небольших сжимающих напряжениях, не являющихся опасными с точки зрения прочности самого материала.

Критическая сила – это наименьшее значение сжимающей силы, при которой стержень теряет устойчивую форму равновесия.

По определению Эйлера, критической силой называется сила, требующаяся для самого малого наклонения колонны.

Потеря устойчивости зачастую является главной причиной катастроф и аварий конструкций.

2. Формула Эйлера для критической силы

Рассмотрим сжатый стержень в критическом состоянии, т.е. когда он слегка прогнулся (см. рис. 1). В произвольном сечении взятом на расстоянии z от левого конца стержня, изгибающий момент от критической силы равен:

,

где – прогиб стержня.

Знак «минус» взят потому, что стержень изгибается концами вниз. Если бы стержень прогнулся дугой вниз, то момент был бы положительным, но прогиб – отрицательный, и произведение было бы, все равно, со знаком «минус».

Рис. 1

Согласно формуле запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня:

(1)

При сжатии стержня вдоль оси, он всегда изгибается относительно той оси, момент инерции относительно которой минимальный. В этом можно убедиться, сжимая линейку. Поэтому в формуле (1) берем минимальный осевой момент инерции сечения. Преобразуем уравнение (1):

;

Обозначив:

(2)

получим:

(3)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение имеет вид:

(4)

Для определения произвольных постоянных А и В используем граничные условия.

При z=0; у=0;

Уравнение примет вид:

. (5)

Как видно из уравнения (5), стержень изогнется по синусоиде.

Второе граничное условие:

При z=l; у=0;

Это условие выполняется в двух случаях:

1) 2)

Первый случай отбрасываем, так как при нем прогибы всех точек равны нулю, т.е. стержень остается прямым.

При втором случае:

Возьмем общий случай:

Возведем в квадрат обе части уравнения:

Вместо подставим его значение из формулы (2):

или

Принимая , и т.д., получим последовательный ряд значений , которым соответствуют различные искривленные формы равновесия стержня. С точки зрения расчета на устойчивость нас интересует лишь наименьшее значение критической силы, так как уже при этом значении силы стержень теряет устойчивость. Поэтому и формула принимает вид:

(6)

Критическая сила зависит от способа закрепления концов стержня, поэтому вводится коэффициент – коэффициент приведенной длины (не путать с коэффициентом поперечной деформации). В общем случае формула Эйлера примет вид:

(7)

Значения коэффициента даны на рис. 2

Рис. 2

3. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

Формула Эйлера выведена на основании дифференциального уравнения изогнутой оси стержня, которое основано на законе Гука. Закон Гука применим до тех пор, пока напряжение не превысит предела пропорциональности .

При сжатии стержня напряжения определяют по формуле . Поэтому:

; (8)

или подставив значение из формулы (7), получим:

;

Из формулы следует:

,

где – минимальный радиус инерции сечения.

;

Обозначим:

; (9)

где – гибкость стержня, величина безразмерная.

;

или

. (10)

Формула (10) позволяет определить значение гибкости стержня, до которого применима формула Эйлера. Например, для стали Ст. 3: ; .

.

Следовательно, если гибкость равна или больше 100, то формулу Эйлера можно применять, если же меньше то нет.

Если гибкость стержня меньше, чем величина, определяемая по формуле (10), то пользуются формулой Ясинского:

(11)

где а и b – постоянные, зависящие от материала.

При гибкостях до 40 стержни рассчитывают только на прочность.

4. Рациональные формы сечений сжатых стержней

При заданных нагрузке, длине стержня, допускаемом напряжении форма и размеры поперечного сечения сжатого стержня характеризуются величиной радиуса инерции

.

Радиус инерции i – величина размерная. Для сравнения различных сечений между собой более удобной является безразмерная величина следующего вида:

(12)

которую называют удельным радиусом инерции.

В табл. 1 приведены значения для некоторых, наиболее распространенных сечений.

Таблица 1

Тип сечения
Прямоугольник при h/b=2 ……………………………….. Квадрат ……………………………………………………. Круг ………………………………………………………... Двутавр ……………………………………………………. Швеллер …………………………………………………… Уголки равнобокие ……………………………………….. Кольцо при с=0,7-0,9 ………………………………………	0,204 0,289 0,36 0,27-0,41 0,38-0,45 0,4-0,6 0,86-1,53

Как видим, наименее выгодными являются прямоугольные сплошные сечения, у которых моменты инерции относительно главных осей не равны между собой и, следовательно, не соблюдается принцип равной устойчивости стержня в обеих главных плоскостях инерции.

Наиболее выгодными являются кольцевые, а также коробчатые тонкостенные сечения. Подсчеты показывают, что замена сжатых сечений в виде уголков и двутавров трубчатыми стержнями дает экономию материала до 20-40%.