Для машиностроения Мех.мат / Лекция №5-механика

Лекция №5

Тема: «Растяжение и сжатие»

Вопросы:

1. Нормальные напряжения при растяжении и сжатии

2. Определение продольной и поперечной деформации. Закон Гука

3. Статически неопределимые задачи

4. Температурные напряжения

5. Монтажные напряжения

1. Нормальные напряжения при растяжении и сжатии

Если на поверхность призматического стержня нанести сетку линий, параллельных и перпендикулярных оси стержня, и приложить к нему растягивающую силу, то можно убедиться в том, что линии сетки и после деформации останутся взаимно перпендикулярными (см. рис. 1).

Рис. 1

Все горизонтальные линии, например, cd переместятся вниз, оставаясь горизонтальными и прямыми. Можно предположить также, что и внутри стержня будет такая же картина, т.е. "поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к его оси до деформации, останутся плоскими и нормальными к оси и после деформации". Эта важная гипотеза носит название гипотезы плоских сечений или гипотезы Бернулли. Формулы, полученные на основе этой гипотезы, подтверждаются результатами опытов.

Такая картина деформаций дает основание считать, что в поперечных сечениях действуют только нормальные напряжения, одинаковые во всех точках сечения, а касательные напряжения равны нулю. Если бы возникали касательные напряжения, то наблюдалась бы угловая деформация, и углы между продольными и поперечными линиями перестали бы быть прямыми. Если бы нормальные напряжения были не одинаковыми во всех точках сечения, го там, где напряжения выше, была бы и больше деформация, а следовательно, поперечные сечения не были бы плоскими и параллельными. Приняв гипотезу плоских сечений мы устанавливаем, что .

Поскольку продольная сила является равнодействующей внутренних сил , возникающих на бесконечно малых площадках (см. рис 3.2) ее можно представить в виде:

Рис. 2

Постоянные величины можно выносить за знак интеграла:

где А  площадь поперечного сечения.

Получаем формулу для нахождения нормальных напряженней при растяжении или сжатии:

(1)

Это одна из важнейших формул в сопротивлении материалов поэтому ее выделим в рамочки и также будем поступать в дальнейшем.

При растяжении положительно, при сжатии  отрицательно.

Если на брус действует только одна внешняя сила F, то

N=F,

и напряжения можно определять по формуле:

2. Определение продольной и поперечной деформации

В упругой стадии работы большинства конструкционных материалов напряжения и деформации связаны прямой зависимостью, называемой законом Гука:

(2)

где Е  модуль продольной упругости или модуль Юнга, измеряется в МПа, характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформациям, его значения приведены в таблицax справочника;

 относительная продольная деформация, величина безразмерная, так как:

; (3)

 абсолютное удлинение стержня, м;

l  первоначальная длина, м.

Чем выше значение модуля продольной упругости Е, тем меньше деформация. Например, для стали Е=2,110⁵МПа, а для чугуна Е=(0,75…1,6)10⁵МПа, поэтому элемент конструкции из чугуна при одинаковых прочих условиях получит большую деформацию, чем со стали. Здесь не надо путать с тем, что доведенный до разрыва стержень из стали будет иметь значительно большую деформацию, чем чугунный. Речь идет не об предельной деформации, а об деформации в упругой стадии, т.е. без возникновения пластических деформаций, и при одинаковой нагрузке.

Преобразуем закон Гука, заменив из уравнения (3.3):

или

Подставим значение из формулы (1):

(4)

Мы получили формулу для абсолютного удлинения (укорочения) стержня. При растяжении положительная, при сжатии  отрицательная. Произведение ЕА называют жесткостью бруса.

При растяжении стержень становится тоньше, при сжатии  толще. Изменение размеров поперечного сечения называется поперечной деформацией. Например, у прямоугольного сечения до нагружения были ширина b и высота сечения h, а после нагружения  b₁ и h₁. Относительная поперечная деформация для ширины сечения:

для высоты сечения:

У изотропных материалов свойства одинаковы во всех направлениях. Поэтому:

При растяжении поперечная деформация отрицательна, при сжатии  положительна.

Отношение поперечной деформации к продольной называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

(5)

Экспериментально установлено, что в упругой стадии работы любого материала значение и постоянно. Оно лежит в пределах 00,5 и для конструкционных материалов дается в таблицах справочника.

Из зависимости (5) можно получить следующую формулу:

(6)

При растяжении (сжатии) поперечные сечения бруса перемещаются в продольном направлении. Перемещение является следствием деформации, но эти два понятия нужно четко разграничивать. Для стержня (см. рис. 3) определим величину деформации и построим эпюру перемещений.

Рис. 3

Как видно из рисунка отрезок стержня АВ не растягивается, но перемещение получит, так как удлинится отрезок СВ. Его удлинение равно:

Перемещения поперечных сечений обозначим через . В сечении С перемещение равно нулю. От сечения С до сечения В перемещение равно удлинению, т.е. возрастает пропорционально до в сечении В. Для сечений от В до А перемещения одинаковы и равны , так как этот отрезок стержня не деформируется.

3. Статически неопределимые задачи

Статически неопределимыми принято считать системы, усилия в которых нельзя определить с помощью только уравнений статики. Все статически неопределимые системы имеют "лишние" связи в виде дополнительных закреплений, стержней и других элементов. "Лишними" такие связи называют потому, что они не являются необходимыми с точки зрения обеспечения равновесия системы или ее геометрической неизменяемости, и их устройство преследует конструктивные или эксплуатационные цели.

Разность между количеством неизвестных и количеством независимых уравнений равновесия, которые можно составить для данной системы, характеризует число лишних неизвестных или степень статической неопределимости.

Статически неопределимые системы решают путем составления уравнений перемещения определенных точек, количество которых должно быть равно степени неопределимости системы.

Пусть на стержень, жестко заделанный обоими концами, действует сила F (см. рис. 4). Определим реакции опор.

Рис. 4

Реакции опор направим влево, так как сила F действует вправо. Поскольку вес силы действуют по одной линии можно составить лишь одно уравнение статического равновесия:

-B+F-C=0;

B+C=F

Итак, две неизвестные реакции опор В и С и одно уравнение статического равновесия. Система один раз статически неопределимая. Следовательно, для ее решения нужно составить одно дополнительное уравнение, основанное на перемещениях точки С. Мысленно отбросим правую опору. От силы F левая часть стержня ВД будет растягиваться и сечение С сместится вправо на величину этой деформации:

От реакции опоры С стержень будет сжиматься и сечение переместится влево на величину деформации всего стержня:

Опора не позволяет сечению С перемещаться ни влево, ни вправо, поэтому сумма перемещений от сил F и С должна равняться нулю:

|

Подставив значение С в уравнение статического равновесия, определим вторую реакцию опоры:

4. Температурные напряжения

В статически неопределимых системах при изменении температуры могут возникать напряжения. Пусть стержень, жестко заделанный с двух концов нагревается на температуру град. (см. рис. 5).

Рис. 5

При нагревании тела расширяются, и стержень будет стремиться удлиниться на величину:

где  коэффициент линейного расширения,

l  первоначальная длина.

Опоры не дают возможности стержню удлиниться, поэтому стержень сжимается на величину:

Согласно формуле (4):

Поэтому:

=;

поскольку:

то:

или:

(7)

Как видно из формулы (7) температурные напряжения не зависят от длины стержня, а зависят лишь от коэффициента линейного расширения, модуля продольной упругости и изменения температуры.

Температурные напряжения могут достигать больших значений. Для их уменьшения в конструкциях предусматриваются специальные температурные зазоры (например, зазоры в стыках рельсов) или компенсационные устройства (например, колена в трубопроводах).

5. Монтажные напряжения

Элементы конструкции могут иметь отклонения в размерах при изготовлении (например, из-за сварки). При сборке размеры не совпадают (например, отверстия под болты), и прикладываются усилия, чтобы собрать узлы. В результате в элементах конструкции возникают внутренние усилия без приложения внешней нагрузки.

Пусть между двух жестких заделок вставлен стержень, длина которого на величину а больше расстояния между опорами (см. рис. 6). Стержень будет испытывать сжатие. Определим напряжения, используя формулу (4):

или

(8)

Рис. 6

Как видно из формулы (8) монтажные напряжения прямо пропорциональны погрешности в размерах а. Поэтому желательно иметь а=0, особенно для стержней небольшой длины, так как обратно пропорционально длине.

Однако в статически неопределимых системах к монтажным напряжениям специально прибегают, чтобы повысить несущую способность конструкции.