Для машиностроения Мех.мат / Лекция №20-механика

Лекция №20

Тема: «Перемещения при изгибе»

Вопросы:

1. Интеграл Мора для определения перемещений

2. Правило Верещагина

1. Интеграл Мора для определения перемещений

Определим потенциальную энергию бруса при чистом изгибе. Рассмотрим бесконечно малый отрезок балки длиной dz (см. рис. 1). Под действием момента он изогнется и радиус кривизны составит , а крайние сечения составят угол d.

Рис. 1

Из теоретической механики известно, что работа, совершаемая моментом, равна произведению момента на угол поворота:

,

где  потенциальная энергия отрезка dz балки.

Множитель 1/2 берется потому, что с возрастанием момента М прямо пропорционально возрастает угол d, т.е. момент не постоянная величина, изменяется от нуля до конечного значения М.

Из рис. 1 видно, что:

dz= d

или

d=.

Тогда, подставив в формулу (4, лекция 1), получим:

. (1)

По формуле имеем:

I/=M/EI

где Е  модуль продольной упругости,

I  осевой момент инерции сечения.

Подставив в формулу (1), получим:

.

Для определения потенциальной энергии балки необходимо взять интеграл по ее длине:

. (2)

Если пренебречь перемещениями от поперечной силы, то от силы F₁ в сечениях балки будут возникать моменты M₁, и потенциальная энергия будет равна:

,

а от силы F₂, соответственно:

.

Пусть к балке приложены силы F₁ и F₂, тогда потенциальная энергия равна:

. (3)

Согласно закона сохранения энергии потенциальная энергия равна совершаемой работе:

W=U; W₁₁=U₁₁; W₂₂=U₂₂.

Поэтому из формул (11.11) и (11.17) следует:

. (4)

Как известно, если работу совершает сила, то она равна произведению силы на перемещение, а если момент  произведению силы на угол поворота. Поэтому для первого случая:

,

для второго:

.

При нагружении балки силой F₁ из формулы (4) получим:

. (5)

Из формулы (5) следует, что если F₁=1 (безразмерная величина), то перемещение в точке приложения силы можно определить по формуле:

,

где М₁  момент от единичной силы,

 перемещение в точке приложения единичной силы от силы F₂.

Поскольку к балке может быть приложена различная нагрузка, то формулу можно записать следующим образом (формула Мора):

, (6)

где  перемещение от обобщенной нагрузки,

М₁  момент от единичной силы или единичного момента, приложенных в точке, где следует определить перемещение,

М_  момент от обобщенной нагрузки.

Используя формулу (6), можно определять перемещения в любой точке. Для этого в определяемой точке прикладывается единичная сила, если определяется прогиб, или единичный момент, если определяется угол поворота. Если знак у положительный, то перемещение имеет то же направление, что и единичная сила или момент, если же знак отрицательный  то противоположное.

Пример: Определить прогиб посредине пролета для двухопорной шарнирной балки, нагруженной силой F (см. рис. 2).

Для определения прогиба в точке С, приложим единичную силу и направим ее вверх. Определим моменты от нагрузки:

.

Момент от единичной силы:

.

Рис. 2

Поскольку задача симметричная, то интеграл формулы Мора можно определять от 0 до 1/2, умножив на 2:

Эта формула используется в лабораторной работе № 4.

2. Правило Верещагина

И 1925 году студент Московского института инженеров железнодорожного транспорта Верещагин предложил упрощение техники определения перемещений, используя интеграл Мора. Этот способ получил название способа перемножения эпюр или правила Верещагина.

Пусть грузовая эпюра имеет сложное (нелинейное) очертание, a единичная  линейное (см. рис. 3).

Интеграл Мора имеет вид:

.

При I=const и Е=const их можно вынести за интеграл и принять пределы интегрирования, указанные на рисунке:

.

Из рисунка видно, что:

M₁=ztg

Тогда:

.

Рис. 3

Но  площадь заштрихованной части эпюры М_р. Интеграл принимает вид:

,

т.е. статический момент площади грузовой эпюры моментов относительно оси Y и формула запишется:

.

Статический момент любой фигуры равен произведению площади на расстояние от оси до центра тяжести:

=z_C,

где   площадь грузовой эпюры M_p,

z_C  расстояние до центра тяжести.

.

Из треугольника ОС₁С₂ имеем:

,

где  значение момента от единичной нагрузки под центром тяжести грузовой эпюры.

.

Поскольку к балке может быть приложено несколько нагрузок (внешние моменты, силы, распределенные нагрузки) в нескольких сечениях, то перемещения определяют для каждого участка балки. Поэтому, в общем случае формула Верещагина имеет вид:

. (7)

Пример: Для балки (рис.4) определить прогиб в сечении В и угол поворота сечения С.

Решение: Перерисуем балку и эпюру грузовых моментов (см. рис. 4). Вначале определим прогиб в сечении В, для чего к нему приложим единичную силу, направленную вверх и построим эпюру моментов от нее. В силу симметрии реакции опор будут равны и направлены вниз. В сечении В момент равен:

м.

Поскольку единичная сила безразмерна, то момент от нес имеет размерность длины. Участок ВС будет симметричным участку АВ, а на участке СД момент от единичной силы отсутствует.

Согласно правилу Верещагина:

Рис. 4

В данном примере перемножаться будут эпюры участков АВ и ВС, так как на участке СД M_i=0.

Па участке АВ сложно определить площадь эпюры и положение ее центра тяжести, поэтому эпюру разобьем на треугольник и сегмент. Для сегмента нужно знать высоту. Поэтому определим значение грузового момента для сечения Е, расположенного посредине участка АВ, т.е. на расстоянии 0,5 м от опоры А. Будем рассматривать левую часть балки:

Высота сегмента равна 7,5-2,5=5 кНм. Произведение для разных фигур дано в некоторых учебниках (П.А. Степин) и справочниках по сопротивлению материалов. В случае их отсутствия перемножение можно осуществить самим. Так для сегмента площадь равна 2/3fl, где f  высота, f=5; l  длина, l=1 (размерности писать не будем). Центр тяжести сегмента посредине, т.е. на расстоянии 0,5, где на единичной эпюре =-1/4. Итого, для сегмента получим:

Площадь треугольника равна . Центр тяжести треугольника находится на расстоянии 2/3 от вершины, т.е.

;

.

На участке ВС грузовая эпюра представляет собой два треугольника, причем до сечения М площадь положительна, а от М до С  отрицательна. Определим длину участка ВМ. Обозначим его через z, тогда MC=1-z. Из подобных треугольников получим:

или

5-5z=10z;

z=1/3; участок MC=1-1/3=.

Тогда: и центр тяжести на 1/9 от сечения В.

Значение определится из подобия треугольников cbb₁ и ckk₁.

или

,

откуда .

Площадь и центр тяжести расположен на расстоянии 1/3 от сечения С, поэтому

.

Прогиб в сечении В равен:

.

Знак "минус" показывает, что перемещение сечения В будет в обратную сторону, чем направление единичной силы, т.е. вниз.

Для определения угла поворота сечения С приложим к нему единичный момент, направленный против часовой стрелки. Реакция в опоре А будет:

Строим эпюру моментов от единичного момента. В точке С изгибающий момент равен:

.

Проводим наклонную прямую от а' до с₁'. На участке СД момент равен нулю.

Перемножим грузовую эпюру моментов и эпюру . Для сегмента , а значение определим из подобий треугольников:

.

Для треугольника:

.

На участке ВС для верхнего треугольника:

для нижнего треугольника:

.

Угол поворота сечения С равен:

.

Знак "плюс" свидетельствует, что сечение повернемся в том же направлении, что и m=1, т.е. против часовой стрелки.