Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Для машиностроения Мех.мат / Лекция №16-механика

.doc
Скачиваний:
44
Добавлен:
21.03.2015
Размер:
133.12 Кб
Скачать

Лекция №16

Тема: «Изгиб»

Вопросы:

1. Понятие о деформации изгиба

2. Нормальные напряжения при чистом изгибе

3. Расчет балок на прочность по нормальным напряжениям

1. Понятие о деформации изгиба

Искривление оси бруса под действием внешней нагрузки называется изгибом. При изгибе в поперечном сечении возникают изгибающие моменты М, т.е. моменты, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости сечения. Если изгибающие моменты являются единственным внутренним усилием, то изгиб называют чистым. Однако в большинстве случаев в сечениях бруса помимо изгибающего момента М возникают и поперечные силы Q. Такой изгиб называют поперечным.

Изгиб может быть прямым (плоским) или косым. Прямой изгиб происходит, если плоскость изгибающего момента проходит через одну из главных осей, косой изгиб  если не проходит.

2. Нормальные напряжения при чистом изгибе

Если на стержень нанести продольные и поперечные линии и подвергнуть его чистому изгибу, то продольные линии изогнутся по дугам окружностей, а поперечные линии 1-1 и 2-2 останутся прямыми, повернувшись на какой-то угол (см. рис. 1).

Рис. 1

В результате линия ab удлинится, а lf  укоротится, следовательно верхние волокна стержня испытывают растяжение, а нижние  сжатие. Линия cd, совпадающая с осью стержня сохранит прежнюю длину, т.е. не растягивается и не сжимается. Слой материала, лежащий на линии cd называют нейтральным слоем.

Из точки d проведем линию, параллельно линии 1-1. Образуемый ее угол с линией 2-2 будет . Линия ab удлинилась на дугу , длину которой можно определить по формуле:

.

Относительная деформация линии ab будет равна:

,

но .

В результате получим:

.

Согласно закона Гука:

,

поэтому:

или (1)

Рис. 2

Рассмотрим поперечное сечение стержня (рис. 2). В нем будет возникать только одно внутреннее усилие  изгибающий момент М, равный внешнему моменту m.

M= m

Установим положение нейтрального слоя, от которого отмеряется расстояние Y. Для этого воспользуемся тем. что равнодействующая элементарных нормальных сил dA при чистом изгибе должна быть равна нулю:

или подставив формулу (1), получим:

Так как множитель величина постоянная, то его можно вынести за знак интеграла и сократить, получим:

Полученный интеграл представляет собой статический момент сечения Sx. Поскольку он равен нулю, то ось X проходит через центр тяжести сечения.

“При чистом изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения”.

Элементарные силы, возникающие на элементарных площадках dA, будут вызывать элементарные моменты . Сумма элементарных моментов в сечении должна составить изгибающий момент М.

.

Интеграл, входящий в это выражение представляет собой момент инерции сечения относительно оси X (см. формулу (4), лекция 12):

;

поэтому:

;

откуда находим кривизну нейтрального слоя:

(2)

Подставляя это выражение в формулу (1), окончательно получим:

(3)

Рис. 3

Из формулы видно, что напряжение прямо пропорционально расстоянию от нейтрального слоя Y. Для точек, находящихся на нейтральном слое, y=0 и x=0. Наибольшие напряжения будут возникать в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя.

Максимальные напряжения будут равны:

;

(4)

;

где и  соответственно высота сжатой и растянутой зоны.

Эпюра напряжений будет иметь вид, показанный на рис. 3.

Если ==, то:

,

Обозначив , (5)

называемый осевым моментом сопротивления, получим:

(6)

Формула (3) и полученная из нее (6), выведенные при чистом изгибе, применимы и при поперечном изгибе.

Возьмем сумму элементарных моментов относительно оси Y (см. рис. 2). Он должен быть равен нулю, так как стержень относительно оси Y не изгибается.

.

Интеграл представляет собой центробежный момент инерции и он равен нулю. Мы отмечали, что если =0, то ось главная. Следовательно, при плоском изгибе нейтральная ось является центральной и главной.

3. Расчет балок на прочность по нормальным напряжениям

Как уже отмечалось, пластичные материалы имеют одинаковую прочность на растяжение и сжатие. Поэтому профили балок из пластичных материалов делают симметричными относительно центральной оси. Условие прочности для них:

, (7)

где  допускаемое напряжение материала на растяжение.

Из условия прочности можно решить следующие три задачи:

1. Проверить на прочность. Прочность обеспечена, если максимальное напряжение меньше или равно допускаемому напряжению.

2. Подобрать сечение. Из условия прочности получим:

.

Значения Wx находят по формуле (5).

Для прямоугольного сечения:

;

(8)

Задавшись высотой или шириной сечения, можно определить второй размер.

Для круглого сечения h=d

;

; (9)

или (10)

Для двутавра, швеллера и уголков приводятся таблицы (в конце учебников и в справочниках), в которых в зависимости от номера профиля дается значение Wx. По требуемому значению Wx выбирается нужный номер профиля.

3. Определить эксплуатационные способности. Из условия прочности получим:

.

Балки из хрупких материалов изготавливают несимметричными относительно нейтрального слоя, так как хрупкий материал гораздо лучше сопротивляется сжатию, чем растяжению. В этом случае составляют два условия прочности:

;

(11)

и решают те же три задачи, что и для балки из пластичного материала.