Для машиностроения Мех.мат / Лекция №11-механика
.docЛекция №11
Тема: «Напряженное состояние в точке»
Вопросы:
1. Напряжения в наклонной площадке при плоском напряженном состоянии
2. Определение главных площадок и главных напряжений
3. Экстремальные касательные напряжения
1. Напряжения в наклонных сечениях при плоском напряженном состоянии
Напряженное состояние называется плоским, если одно из главных напряжений равно нулю.
Определим нормальные и касательные напряжения в наклонном сечении (см. рис. 1).
Рис. 1
Их можно представить
как сумму нормальных и касательных
напряжений, возникающих отдельно от
и
.
,
где
нормальные напряжения в наклонной
площадке, возникающие соответственно
от
и
.
Значение
можно определить по формуле (1), (лекция
9), так как угол между напряжением и
нормалью n-n
составляет ,
а
по формуле (3), (лекция 9), так как угол
90°+,
но в формулу вместо
,
нужно подставить
:
.
Аналогично для касательных напряжений:
.
Значение
находится по формуле (2),
по формуле (4) заменой
на
.
Из формулы (1) следует, что наибольшие касательные напряжения будут при sin2=l; 2=90°; =45°
(2)
Наибольшие касательные напряжения возникают в площадках под углом 45° и равны половине разницы главных напряжений.
2. Определение главных площадок и главных напряжений
На практике приходится часто решать задачу определения главных напряжений и положения главных площадок, если известны нормальные и касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках.
Рассмотрим пример.
Пусть на взаимно перпендикулярных
площадках действуют нормальные напряжения
касательные
(см. рис. 2, а). Согласно закона
парности касательных напряжений они
должны быть равны на всех гранях. Из
элемента вырежем призму (см. рис. 2, б)
и рассмотрим ее равновесие.
Рис. 2
На главных площадках касательные напряжения отсутствуют. Положения главных площадок и значения главных напряжений находятся из уравнений статического равновесия призмы.
;
.
(3)
(4)
Для одного главного
напряжения берется знак "плюс"
перед корнем тогда
,
для другого
"минус", тогда
.
3. Экстремальные касательные напряжения при объемном напряженном состоянии
В параллелепипеде
возьмем наклонную площадку, проходящую
через ось Z
и расположенную под углом
к оси X
(см. рис. 3). На эту площадку напряжение
,
действовать не будет и напряжения на
ней будут зависеть только от
и
,
т.е. для этой площадки напряженное
состояние можно рассматривать как
двухосное (плоское). В этом случае
наибольшие касательные напряжения
будут при =45
и согласно формуле (2) равны:
.
Если взять площадки параллельные осям Y и X. то аналогично получим:
и
(5)
"Наибольшие
касательные напряжения возникают в
площадках, расположенных под углом 45°
к направлениям главных напряжений и
равны половине разности двух других
главных напряжений". Эти касательные
напряжения принято называть главными
касательными напряжениями и обозначать
и
.