Для машиностроения Мех.мат / Лекция №10-механика

Лекция №10

Тема: «Напряженное состояние в точке»

Вопросы:

1. Общий случай напряженного состояния в точке. Виды напряженного состояния

2. Напряжения в наклонных площадках при одноосном напряженном состоянии. Закон парности касательных напряжений

1. Общий случай напряженного состояния в точке. Виды напряженного состояния

В нагруженном какой-то нагрузкой теле в каждой точке сечения в общем случае будут возникать нормальное напряжение а, направленное перпендикулярно к сечению и касательное , лежащее в плоскости сечения. Как известно, через точку можно провести бесконечное количество плоскостей и в этой точке будут напряжения и , перпендикулярные и лежащие в этих плоскостях. Таким образом, напряженное состояние в точке можно представить совокупностью всех и , возникающих в ней. Для характеристики напряженного состояния в точке достаточно знать значения нормальных и касательных напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках (будет доказано позднее). Их удобнее представить в виде параллелепипеда с бесконечно малыми гранями. Поскольку расстояние между гранями бесконечно мало, то можно считать, что на противоположных гранях параллелепипеда возникают одинаковые по величине напряжения, но направленные противоположно. Всегда можно найти такую ориентацию параллелепипеда в пространстве (будет доказано позднее), когда на всех его гранях будут отсутствовать напряжения . Эти площадки называют главными площадками, а нормальные, напряжения, возникающие на них  главными напряжениями. Главных напряжений 3, так как три взаимно перпендикулярных площадок. Они имеют обязательное обозначение причем, знак учитывается. Например, =100МПа, =-50МПа, =-300МПа.

В зависимости от количества возникающих главных напряжений, различают следующие вилы напряженного состояния в точке:

Рис. 1

1. Трехосное или объемное. Все три главных напряжения не равны нулю (см. рис. 1, а).

2. Двухосное или плоское. Одно из главных напряжений равно нулю (рис.1, б).

3. Одноосное или линейное. Два главных напряжения равны нулю, (рис.1, в). В случае растяжения действующее напряжение обозначается , в случае сжатия  , так как 0>. Линейное напряженное состояние представляет собой растяжение или сжатие.

2. Напряжения в наклонных площадках при одноосном напряженном состоянии. Закон парности касательных напряжений

Определим нормальные и касательные напряжения в наклонной площадке растянутого стержня. Напряжение в поперечном сечении определится по формуле (1), (лекция 5):

.

Здесь мы обозначаем ,  главное напряжение, так как только что отмечали, что растяжение  это одноосное напряженное состояние. Пусть нормаль n-n к наклонной площадке составляет с , угол  (см. рис. 2, а).

Рис. 2

В наклонной площадке будут возникать нормальные и касательные напряжения. Их определим, рассматривая статическое равновесие нижней части стержня:

.

Для определения силы, действующей на площадке нужно значение напряжения умножить на площадь, на которой oно действует:

,

где  площадь наклонного сечения:

.

Подставив вместо его значение, получим:

или

(1)

;

;

;

.

Как известно: sin2=2sincos, окончательно получим:

(2)

Из формулы (2) следует, что при =0 (поперечное сечение) и =90° (продольное сечение) sin2=0 и, следовательно, =0.

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными, т.е. продольное и поперечное сечения являются главными площадками.

Из формулы (1) следует, что при =0 значение функции будет максимальным, так как косинус не может быть больше 1, а при =90°  минимальным, т.е. равным нулю. Следовательно, одно главное напряжение имеет максимальное значение, второе  минимальное.

Из формулы (2) следует, что максимальные касательные напряжения будут возникать при sin2=1 или 2=90°; =45°.

"Наибольшие касательные напряжения при растяжении (сжатии) бруса возникают в сечениях под углом 45° и равны половине значения главного напряжения". Это подтверждается экспериментами. При сжатии чугунного образца он разрушается под углом 45°.

Определим нормальные и касательные напряжения в наклонном сечении, перпендикулярном первому сечению (см. рис. 3).

Угол между нормалью и напряжением , составит 90°+. Поэтому, нормальному и касательному напряжениям, возникающим на этой площадке дадим индекс 90°+. Значения этих напряжений определим по формулам (1) и (2), подставив вместо угла  угол 90°+.

(6.3)

. (6.4)

Из формулы (1) и (3) следует:

,

Рис. 3

т.е. "сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках всегда постоянна и равна главному напряжению".

Из формул (2) и (4) следует, что

,

т.е. "на двух взаимно перпендикулярных площадках возникают равные по величине и обратные по знаку касательные напряжения". Этот вывод носит название закона парности касательных напряжений.

Согласно этому закону, если на какой-то площадке возникает касательное напряжение, то и на перпендикулярной ей площадке будет, равное по величине и обратное по знаку касательное напряжение, т.е. касательные напряжения должны быть направлены или к ребру или от ребра (см. рис. 4).

Рис.4