Для машиностроения Мех.мат / Лекция №12-механика

Лекция №12

Тема: «Напряженное состояние в точке»

Вопросы:

1. Обобщенный закон Гука

2. Потенциальная энергия деформации.

1. Обобщенный закон Гука

При растяжении или сжатии (одноосное напряженное состояние) продольная деформация определяется по формуле (2), (лекция 5):

,

поперечная деформация  по формуле (6), (лекция 5):

;

где Е  модуль продольной упругости;

 коэффициент поперечной деформации.

При объемном напряженном состоянии вдоль каждой оси координат будет одна продольная и две поперечные деформации.

Например, вдоль оси Y (см. рис. 1) будет продольная деформация от и две поперечные от и . Напряжение удлиняет параллелепипед вдоль оси Y, а от и происходит укорочение (при растяжении стержень делается тоньше).

Рис. 1 Рис.2

Общая деформация вдоль оси Y будет:

.

Аналогично определяется деформация вдоль осей X и Z. Получим следующие 3 уравнения, называемые обобщенным законом Гука:

(1)

Деформации в направлении главных напряжений называют главными деформациями и им дают соответственно индексы и .

2. Потенциальная энергия деформации

Вначале рассмотрим одноосное напряженное состояние. Пусть к стержню приложена статическая сила, т.е. сила, значение которой медленно возрастает от нуля до конечного значения F. С возрастанием силы стержень будет удлиняться и окончательная деформация составит (см. рис. 3, а).

а)

б)

Рис. 3

В результате деформации стержня сила переместится с точки 1 в точку 2. Если сила совершает путь, то выполняется работа, величина которой равна произведению силы на путь. В данном случае сила изменилась от нуля до F. Поскольку деформация подчиняется закону Гука, то график зависимости F  изображается наклонной прямой, а работа равна площади заштрихованного треугольника (см. рис. 3, б).

.

В общем случае к стержню может быть приложено несколько сил. поэтому лучше от внешних сил перейти к внутренним, т.е. заменить F на N  продольную силу:

.

Согласно формуле (4), (лекция 5):

и

.

Числитель и знаменатель умножим на А:

;

Произведение представляет собой объем тела V.

Согласно формуле:

,

получим

.

Согласно закону сохранения энергии, потенциальная энергия деформации равна совершаемой работе:

(2)

Для характеристики свойств материалов из формулы (2) нужно удалить объем V. С этой целью вводят понятие удельной потенциальной энергии деформации, т.е. энергии, приходящейся на единицу объема:

, Дж/м³

Используя закон Гука

,

получим:

(3)

Из выражения (3) видно, что удельная потенциальная энергия упругой деформации характеризуется площадью треугольника OAA₁ на диаграмме растяжения (см. рис. 1), построенный в координатах . При одном и том же напряжении запас энергии тем больше, чем меньше модуль Е. Резина имеет малый модуль Е и является одним из самых энергоемких материалов. Ее используют в амортизирующих устройствах для смягчения динамических воздействий.

При одноосном напряженном состоянии удельная потенциальная энергия деформации определяется по формуле (3), при трехосном напряженном состоянии энергия будет равна сумме энергий вдоль каждой из главных осей:

Подставив значения из обобщенного закона Гука и преобразовав, получим:

(4)