Для машиностроения Мех.мат / Лекция №17-механика

Лекция №17

Тема: «Изгиб»

Вопросы:

1. Рациональные формы сечения балок

2. Балки равного сопротивления изгибу

1. Рациональные формы сечения балок

При изгибе форма сечения играет существенную роль, поскольку прочность балки характеризуется значением момента сопротивления, зависящим как от размеров, так и от очертания сечения. Можно получить большой момент сопротивления при малой площади и, наоборот, малый момент  при большой площади Совершенно очевидно, что первый вариант выгоднее с точки зрения более благоприятной работы на изгиб и расхода материала, хотя он и не всегда возможен конструктивно.

Таким образом, рациональны те формы поперечного сечения, у которых основная часть площади удалена как можно дальше от нейтральной линии. Этому в первую очередь удовлетворяют балки двутаврового сечения, у них основная часть материала сконцентрирована в удаленных от нейтрального слоя полках (см. рис. 1).

Менее выгодно прямоугольное сечение, особенно вытянутое вдоль нейтральной оси (W_y  W_x). Не выгодно круговое сечение, так как оно имеет наибольшую толщину на уровне нейтрального слоя (см. рис. 2), где материал не загружен, т.е. не работает.

Полое сечение (трубчатое, коробчатое и др.) всегда выгоднее сплошного, равноценного по площади, а, следовательно, и по массе.

Основным балочным прокатным профилем является двутавр. Различают двутавры обыкновенные и широкополочные. Первые применяют давно и пока они в строительстве более распространены. Они имеют уклон внутренних граней полок. Широкополочные двутавры начали прокатывать в конце 70-х годов. Они имеют параллельные грани полок, что облегчает крепление примыкающих деталей, и более экономичны.

Рис. 1 Рис. 2

Для хрупких материалов симметричный профиль относительно нейтральной оси нерационален. Целесообразно, чтобы высота сжатой зоны была больше растянутой, так как прочность хрупких материалов на сжатие выше, чем на растяжение (см. рис. 3).

Рис. 3

2. Балки равного сопротивления изгибу

В большинстве случаев изгибающий момент М изменяет свою величину по длине балки. Поэтому, если балку выбрать постоянного сечения, то на участках, где изгибающий момент меньше максимального, она будет недогружена. С точки зрения рационального расхода материала балка должна иметь переменное сечение в зависимости от М с таким расчетом, чтобы в каждом сечении:

(1)

Такие балки называют балками равного сопротивления изгибу.

Рассмотрим пример. Для балки равного сопротивления изгибу, имеющую круглое сечение, определить диаметр (рис. 4).

Рис. 4

Решение: Поскольку задача симметрична, то реакции опор одинаковы и равны , а эпюра изгибающих моментов будет симметрична.

Изгибающий момент в произвольном сечении будет равен:

Из формулы (1) получим:

.

Для круглого сечения:

.

или

(2)

Уравнение (2) представляет собой параболу 3-го порядка. Строим эпюру диаметра d (см. рис. 4). Поскольку изготовить балку (ось) такого сложного профиля трудно, ее изготавливают ступенчатой, причем необходимым условием является то, чтобы диаметр не был меньше диаметра, полученного по формуле (2).