Лекция №2

Тема: «Внутренние усилия в поперечных сечениях стержня»

Вопросы:

1. Метод сечений для определения внутренних сил

2. Напряжения

3. Продольные силы и их эпюры

4. Определение внешних моментов и построение эпюр крутящих моментов

1. Метод сечений для определения внутренних сил

Как уже отмечалось, до приложения к телу нагрузки, внутри его не возникает внутренних усилий (4-е допущение). При приложении внешних сил или моментов внутри тела появляются внутренние силовые факторы. Их определяют методом сечений. Для этого в интересующем нас месте делается мысленный разрез, отбрасывается одна часть тела (обычно та, на которую действует больше сил), а ее воздействие на оставшуюся заменяется внутренними силовыми факторами, значение которых находят из уравнений статического равновесия рассматриваемой части тела.

Возможны два варианта решения задачи:

а) внешние силы и моменты находятся в одной плоскости, проходящей через центр тяжести сечения (плоская задача);

б) внешние силы и моменты не находятся в одной плоскости (пространственная задача).

Рассмотрим плоскую задачу. Пусть на тело (рис. 1) действует система сил, лежащих в одной плоскости и оно находится в статическом равновесии. Определим внутренние усилия в сечении 1-1. Отбрасываем правую часть тела, а ее воздействие на левую заменим на три силовые факторы: продольную силу N, направленную перпендикулярно плоскости сечения; поперечную силу Q, лежащую в плоскости сечения (на рисунке она несколько смещена вправо для того, чтобы она не сливалась с сечением); изгибающий момент М, плоскость действия которого перпендикулярна плоскости сечения.

Рис. 1

Для нахождения внутренних силовых факторов проведем оси координат через центр тяжести сечения OX, OY и составим уравнения статического равновесия:

; ;

где и– соответственно проекции сил ина осьOY.

.

; ;

где и– соответственно проекции силина осьOX.

;

где a₁ и a₂ плечи сил и, т.е. кратчайшие стояния от точки 0 до направления действия сил (плечоa₂ не показано, чтобы не усложнять рисунок).

Аналогично определяют усилия в сечениях 2-2, 3-3 и т.д. по всей длине тела. Определив значения N, Q и M строят эпюры (графики) каждого внутреннего усилия в отдельности. По эпюрам находят опасное сечение (сечения). Опасным считают сечение, где одно из внутренних усилий имеет максимальное значение. Это важно при расчете брусьев постоянного сечения (стержней), так как там, где внутреннее усилие максимально, возможна потеря прочности. А если прочность обеспечена в опасном сечении, то она обеспечена для всего стержня.

При плоской задаче опасных сечений может быть три. При некоторых видах нагружения два из трех внутренних усилий могут быть равны нулю, и тогда будет одно опасное сечение. Возможен также вариант, когда все внутренние усилия имеют максимум в одном сечении. Тогда тоже будет одно опасное сечение.

Рассмотрим пространственную задачу, т.е. когда внешние силы и моменты не лежат в одной плоскости (рис. 2).

Рис. 2

Внутренних усилий будет шесть: три силы и три момента, т.е. одна сила и один момент относительно каждой оси координат (две силы или два момента относительно одной оси быть не может, так как они сложатся и будет результатируюшая, т.е. одна сила или момент).

Сила, перпендикулярная сечению, называется продольной N и направлена по оси Z. Сила, лежащая в плоскости сечения, называется поперечной Q. Их будет две: вдоль осей Y и X соответственно Q_y и Q_x. Эти силы можно сложить по правилу параллелограмма и получить одну силу Q. Моменты M_x и M_y действуют перпендикулярно плоскости сечения, поэтому являются изгибающими. Момент M_z лежит в плоскости сечения и называется крутящим моментом Т.

Для пространственной задачи составляется шесть уравнений статического равновесия:

; определяем ;

; определяем ;

; определяем ;

; определяем ;

; определяем ;

; определяем .

Возможны следующие частные случаи возникновения внутренних усилий в сечении:

а) только продольная сила N. Это случай растяжения (сила направлена от сечения) или сжатия (сила направлена внутрь тела);

б) только поперечная сила Q.Это случай сдвига;

в) только крутящий момент Т. Это случай кручения;

г) только изгибающий момент М_х или только изгибающий момент М_у. Это случай изгиба.

д) Несколько внутренних усилий, например, М_х и М_у вместе. Это случай сложного сопротивления.