Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Для машиностроения Мех.мат / Лекция №21-механика

.DOC
Скачиваний:
40
Добавлен:
21.03.2015
Размер:
1.44 Mб
Скачать

Лекция №21

Тема: Сложное сопротивление

Вопросы:

  1. Общий метод решения задач при сложном сопротивлении.

  2. Косой изгиб.

  3. Внецентренное растяжение (сжатие).

  4. Совместное действие кручения и изгиба.

1. Общий метод решения задач при сложном сопротивлении.

Если в поперечных сечениях бруса возникают два или более внутренних усилия, учитываемых при расчете на прочность, то это случай сложного сопротивления. Поперечный изгиб не является сложным сопротивлением, так как расчет балок в основном ведут по изгибающему моменту, а поперечная сила игнорируется.

Порядок решения задач при сложном сопротивлении следующий:

1. Методом сечений определяют внутренние усилия, строят их эпюры и находят опасные сечения. Опасным является сечение, где одно из внутренних усилий имеет максимальное значение.

2. Для опасного сечения определяют напряжения отдельно от каждого внутреннего усилия и строят эпюры. По эпюрам напряжений находят опасную точку (точки). За опасную принимается точка, где суммарные нормальные или касательные напряжения максимальны.

3. Для опасной точки составляется условие прочности. Если в опасной точке возникают только нармальные или только касательные напряжения, то суммарное напряжение сравнивается с допускаемым. Если в опасной точке возникает и касательное и нормальное напряжения, то для составления условия прочности нужно воспользоваться какой-то гипотезой прочности.

4. Перемещения определяют отдельно от каждого внутреннего усилия, а затем их слаживают с учетом направления.

2. Косой изгиб

Изгиб называют косым, если плоскость изгибающего момента не проходит ни через одну из главных осей сечения.

Пусть к свободному концу стержня приложена сила F, не совпадающая ни с одной из главных осей и проходящая через центр тяжести сечения (рис. 1). Если направление силы не будет проходить через центр тяжести, то помимо изгибающих моментов будет создаваться и крутящий момент. Этот случай мы рассмотрим чуть позднее.

По правилу параллелограма разложим силу F на составляющие , перпендикулярные соответственно осям X и Y. В произвольном сечении на расстоянии z от правого конца балки будут возникать изгибающие моменты:

Рис. 1

т.е. косой изгиб наблюдается, когда в сечении возникают два изгибающих момента.

Из формул (1) следует, что значения изгибающих моментов прямо пропорциональны z. При z=0; и при z=l . Строим эпюры моментов и . Момент действует в горизонтальной плоскости, поэтому его значения откладываем по оси X. Из эпюр и видно, что опасным будет сечение в заделке балки, так как и максимальны.

Для опасного сечения АВСД (см. рис. 2) определим напряжения и построим их эпюры. От изгибающего момента возникают нормальные напряжения, определяемые по формулам:

От изгибающего момента напряжения будут:

Рис. 2

от момента :

Эпюру строим справа от сечения, эпюру – внизу. Анализируя эпюры видим, что наибольшие растягивающие напряжения будут возникать в точке С, а сжимающие – в точке А (опасные точки).

Условие прочности для опасной точки будет иметь вид:

Для определения перемещений определяют отдельно прогибы от Мх и Му и затем их слаживают и определяют общий прогиб

f =

где U и V - соответственно прогибы от Мy и Мx.

3. Внецентренное растяжение (сжатие)

В реальных условиях часто сжимающая или растягивающая сила приложены не в центре тяжести сечения, а с каким-то смещением, например, на рисунке 3,а точка приложения силы F имеет координаты .

а)

б)

Рис.3

Возьмем произвольное сечение на высоте z (оно заштриховано) и определим внутренние усилия. Силу F можно перенести в центр сечения, но при этом нужно добавить два момента (см. рис.3 б)

Сила F, приложенная к центру сечения вызовет продольную силу, равную ей:

N=F

Поскольку внутренние усилия не зависят от z - высоты сечения, то в любом сечении они будут одинаковы. Можно сказать, что все сечения стержня равноопасны. Определим напряжения от каждого внутреннего усилия и построим их эпюры. От продольной силы N возникают нормальные напряжения, одинаковые во всех точках сечения:

От изгибающих моментов и соответственно:

Эпюры нормальных напряжений представлены на рисунке 6.

Рис. 4

Из эпюр напряжений видно, что наибольшие напряжения возникают в точке С (опасная точка). Для нее составим условие прочности:

Составим уравнение нулевой линии, т.е. линии, на которой суммарные напряжения равны нулю:

или, подставив формулы (6-8), получим:

;

Внутренние силы выразим через внешнюю силу ; Тогда получим:

;

или

;

Заменим

и , (10)

где ix,iу – радиусы инерции сечения, м.

Окончательно уравнение нулевой линии будет:

; (11)

Это уравнение прямой в отрезках, так как эта прямая отсекает отрезки на осях X и Y соответственно знаменателям под переменными. Так при х=0; (12) а, при у=0; (13). Поскольку в этих формулах стоит знак "минус", то у и , а также х и лежат по разные стороны от центра тяжести сечения.

Все полученные зависимости справедливы и для случая внецентренного сжатия. Некоторые материалы не могут сопротивляться растягивающим усилиям. Поэтому при внецентренном сжатии нельзя допустить, чтобы какие-либо точки сечения испытывали растяжение. В этой связи важно определить зону приложения нагрузки (ядро сечения), обеспечивающую во всех точках сечения только сжатие.

Рассмотрим прямоугольное сечение. Для него согласно формуле

; ,

где и – соответственно ширина и высота сечения. По формуле (10) получим:

(14)

Это значение подставим в формулу (12):

(15)

Пусть нулевая линия будет проходить по самому краю сечения, т.е. линии ВС (см. рис.5, а). В этом случае в сечении будут только сжимающие напряжения, а на линии ВС напряжения будут равны нулю. При этом . По формуле (15) определим :

Отложим эту точку на оси Y сечения.

а) б)

Рис. 5

Аналогично, для случая, если нулевая линия будет проходить по стороне СД прямоугольника, получим:

;

Поскольку, как мы уже отмечали, для уравнения прямой в отрезках достаточно найти значения точек на осях координат, соединим эти точки.

Учитывая симметрию сечения отложим и положительные значения h/6 и b/6, что соответствует, если нулевые линии будут проходить по прямым АД и АВ.

Соединив полученные точки прямыми, определим ядро сечения (заштриховано), представляющее собой ромб.

Определим ядро сечения для круглого сечения (рис.5, б). Для круга согласно формуле:

и

По формуле (10):

Формула (12) примет вид:

При у=, получим:

или диаметр ядра сечения будет d/4.

4. Совместное действие кручения и изгиба

Рассмотрим случай совместного действия кручения и изгиба на стержень круглого сечения (см. рис.6).

Определим внутренние усилия и построим их эпюры. Крутящий момент будет возникать на участке от заделки стержня до сечения, где приложен внешний момент Tе

T=Tе.

Принимаем это направление Т за положительное (четких правил знаков для крутящих моментов нет) и строим эпюру Т.

Рис. 6

От силы F будет возникать изгибающий момент, наибольшее значение которого будет в заделке:

Строим эпюру изгибающих моментов. Из эпюр Т и М видно, что опасное сечение будет в заделке. Поэтому расчет на прочность будем проводить для этого сечения.

Для опасного сечения определим напряжения и построим их эпюры (см. рис. 7).

Рис. 7

Согласно формулам:

;

и формулам:

; .

Опасными будут точки 1 и 2. Для них и нужно составить условие прочности, т.е. учитывать и . Индексы max в дальнейшем опустим, чтобы упростить написание. Совместное действие кручения и изгиба приходится учитывать чаще всего при точном расчете валов машин и грузоподъемных механизмов, поэтому расчет ведут по допускаемым напряжениям. Поскольку в опасной точке возникает касателльное и нормальное напряжение, то непосредственно, как в случаях косого изгиба или внецентренного растяжения, составить условие прочности нельзя. Нужно вначале определить главные напряжения и затем использовать соответствующую для данного материала теорию прочности. Определим главные напряжения. В поперечном сечениии возникают касательные напряжения и нормальные . Согласно закону парности касательных напряжений в продольных сечениях будут возникать касательные напряжения, равные по величине и обратные по знаку (закон парности касательных напряжений). Элемент представлен на рис. 8.

Рис. 8

Главные напряжения определяют по формуле

.

В данном случае ; ;

У главных напряжений обязательно . Поэтому:

;

;

Валы, как правило, изготавливают из стали, т.е. пластичного материала. Для пластичного материала можно применить гипотезу наибольших касательных напряжений.

Подставив значения и , получим:

(16)

Вместо и подставим их максимальные значения:

(17)

Для круглого сечения имеем:

и

т.е. .

В формуле (17) заменим на :

(18)

Если использовать энергетическую гипотезу прочности, то получим:

(19)

Формула (19) отличается от формулы (16) только тем, что в ней а не . Поэтому можно сразу записать окончательную формулу.

(20)

Формулы (18) и (20) используют для уточненных расчетов валов.