Для машиностроения Мех.мат / Лекция №22-механика

Лекция №22

Тема: «Теории прочности»

Вопросы:

1. Назначение теорий прочности

2. Первая теория прочности

3. Вторая теория прочности

4. Третья теория прочности

5. Четвертая теория прочности

6. Теория прочности Мора

1. Назначение теорий прочности

При простых видах нагружения (растяжении, сжатии, сдвиге, изгибе) условие прочности составляют сравнивая максимальное напряжение с соответствующим расчетным сопротивлением.

При сложном напряженном состоянии (двух или трехосном) такое условие составить нельзя, потому что неизвестно как влияет каждое из главных напряжений на прочность материала.

Поэтому прибегают к определенным теориям (теориям) прочности. Цель гипотез  заменить сложное напряженное состояние на равнопрочное одноосное, напряжение при котором называют эквивалентным . Сравнивая с расчетным сопротивлением составляют условие прочности при сложном напряженном состоянии.

Каждая теория берет за основу какой-то один фактор (реже два) и считает его единственным, который влияет на прочность материала, поэтому одни теории применимы для пластичных материалов, другие  для хрупких.

Правильность теорий проверяют экспериментами. Для двухосного напряженного состояния испытывают образцы на растяжение в виде трубок с созданием давления жидкости внутри. Такие опыты весьма сложны, трудоемки дорогостоящи. Трехосное напряженное состояние создают, помещая кубик материала в жидкость под большим давлением (гидростатическое давление). При этом на всех гранях кубика будет равное давление и, следовательно, все три главные напряжения равны.

Теорий прочности много и поиски новых продолжаются и в настоящее время. Мы рассмотрим лишь классические теории прочности.

2. Первая теория прочности

Эта теория прочности называется теорией наибольших нормальных напряжений, так как за критерий прочности приняты наибольшие нормальные напряжения. Согласно этой теории прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечивается, если наибольшее нормальное напряжение не превышает допускаемого напряжения на растяжение:

. (1)

Главный недостаток первой теории прочности состоит в том, что ею не учитываются два других главных напряжения: . В действительности же эти напряжения оказывают большое влияние на прочность материала. Так, при гидростатическом сжатии цементного кубика, он не разрушаясь, выдерживает напряжение во много раз превосходящее предел прочности. Аналогично ведут себя и другие материалы в тех же условиях.

Выводы данной теории подтверждаются опытом лишь при растяжении хрупких материалов, разрушение которых происходит путем отрыва одной части материала от другой без развития заметных пластических деформаций.

В настоящее время первая теория не применяется и имеет лишь историческое значение.

3. Вторая теория прочности

Эта теория носит название теории наибольших линейных деформаций, так как за критерий прочности взята наибольшая линейная деформация. Согласно ей:

, (2)

где  наибольшая линейная деформация,

 предельное значение деформации, полученное из опыта на растяжение.

Значение определим по формуле:

,

а из формулы:

.

Подставив значения и в формулу (2), получим:

. (3)

Преимущество второй теории по сравнению с первой состоит в том, что ею учитывается влияние всех главных напряжений.

С помощью этой теории можно объяснить, разрушение хрупких материалов при простом сжатии, когда торцы образцов смазываются маслом. В этом случае разрушение материала сопровождается образованием трещин в направлении сжатия, что объясняется развитием линейных деформаций, сопутствующих расширению материала в поперечном направлении.

Как и первая, вторая теория недостаточно подтверждается опытами и в большей степени оправдывается для хрупких материалов. Она используется как составная часть более сложных теорий.

4. Третья теория прочности

Эта теория носит название теории наибольших касательных напряжений, так как за критерий прочности взяты наибольшие касательные напряжения. Согласно ей:

. (4)

Наибольшие касательные напряжения при объемном напряженном состоянии находят по формуле:

;

.

Подставив в формулу (4), получим:

(5)

Основной недостаток третьей теории прочности состоит в том, что в случаях объемною напряженного состояния ею не учитывается влияние главного напряжения ₂.

Теория наибольших касательных напряжений лучше всею подтверждается опытами с пластичными материалами, одинаково сопротивляющимися как растяжению, так и сжатию. Она достаточно широко используется при оценке их прочности.

5. Четвертая теория прочности

Эта теория прочности носит название энергетической, так как основывается на предположении о том, что количество удельной потенциальной энергии деформации, накопленной к моменту наступления предельною напряженною состояния в материале, одинаково как при любом сложном состоянии, так и при простом растяжении.

, (6)

где е – удельная потенциальная энергия при сложном напряженном состоянии, согласно формуле (6):

и

.

Подставив в формулу (6), получим:

.

От правой и левой частей уравнения возьмем квадратный корень:

.

Лучшие результаты эта теория дает при =0,5. Тогда окончательно получим:

. (7)

Эта теория применима для пластичных материалов.

6. Теория прочности Мора

Условие прочности Мора имеет вид:

, (8)

где

_{р lim} – предельное напряжение при растяжении; '

_{с lim} – предельное напряжение при сжатии.

Для хрупких материалов предельными напряжениями являются пределы прочности на растяжение _вр и сжатие _вс.

Для пластичных материалов предельными напряжениями будут пределы текучести _тр и _тс. Для большинства пластичных материалов _тр=_тс=_т и коэффициент =1. Теория Мора превращается в третью теорию прочности.

Таким образом, теория Мора может рассматриваться как теория пластичности, так и теория разрушения. В настоящее время эта теория используется для хрупких материалов.