Algebra_10kl_RU

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

Задача 5 Сравните с единицей положительное число a, зная, что loga 6 < 0.

1.Дайте определение логарифмической функции.

2.Как расположены графики функций у = ах и у = logа х (а > 0, а ≠ 1) относи% тельно прямой у = х? Ответ объясните. Постройте эти графики при а > 1 и при 0 < а < 1.

3.Используя график функции у = logа х (а > 0, а ≠ 1), охарактеризуйте ее свойства.

4*. Обоснуйте свойства функции у = logа х (а > 0, а ≠ 1).

5. Учитывая возрастание или убывание соответствующей логарифмической

функции, сравните значения: а) log5 7 и log5 3; б) log1 7 и log1 3.

372

§ 33. Решение логарифмических уравнений и неравенств

33.1. РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Т а б л и ц а 55

1. Основные определения и соотношения

2. Решение простейших логарифмических уравнений

373

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

374

§33. Решение логарифмических уравнений и неравенств

Пр о д о л ж. т а б л. 55

Равносильные преобразования уравнений в других случаях

1. Решение простейших логарифмических уравнений. Простейшим лога" рифмическим уравнением обычно считают уравнение loga x = c (a > 0 и a ≠ 1).

Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на всей своей облас% ти определения, то есть при x > 0 (см. графики в пункте 1 табл. 55), и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Учи% тывая, что логарифмическая функция принимает все действительные значе% ния, уравнение

всегда имеет единственный корень, который можно записать, исходя из опре%

и выполнить замену переменной: f (x) = t, то получим простейшее логарифми% ческое уравнение loga t = c, имеющее единственный корень t = ac. Выполняя обратную замену, получаем, что решения уравнения (2) совпадают с корнями уравнения

Следовательно, уравнения (2) и (3) — равносильны. Таким образом, мы обосновали, что для равносильного преобразования простейшего логарифми"

375

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

ческого уравнения (1) или уравнения (2) (которое мы также будем относить к простейшим при условии, что основание а — число) достаточно применить определение логарифма. Если обозначить равносильность уравнений знач% ком , то коротко этот результат можно записать так:

loga f (x) = c f (x) = ac .

Напомним, что все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений (ОДЗ). Для уравнения (2) ОДЗ задается условием f (x) > 0. Но для всех корней уравнения (3) это условие выполняется автоматически (потому что a > 0 ). Поэтому в явном виде ОДЗ для простейших логарифмических уравнений можно не записывать (поскольку оно учитыва% ется автоматически при переходе от уравнения (2) к уравнению (3)).

Например, уравнение log5 (2x – 3) = 2 равносильно уравнению 2х – 3 = 52, корень которого х = 14 и является корнем заданного уравнения.

Аналогично записано и решение простейшего уравнения log3 (x – 1) = 2 в таблице 55.

2.Использование уравнений#следствий при решении логарифмических урав# нений. При решении уравнения главное — не потерять его корни, и поэтому важно следить за тем, чтобы каждый корень первого уравнения оставался кор% нем следующего уравнения — в этом случае получаем уравнения%следствия. Напомним, что каждый корень заданного уравнения обращает его в верное числовое равенство. Используя это определение, можно обосновать, что в слу% чае, когда преобразования уравнений проводятся так: если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то мы получаем уравнения"следствия (поскольку каждый корень первого уравнения будет и корнем следующего уравнения). Напомним, что хотя при использова% нии уравнений%следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью реше" ния при использовании уравнений"следствий.

Пример решения логарифмического уравнения с помощью уравнений%след% ствий и оформление такого решения приведены в пункте 3 таблицы 55.

3.Равносильные преобразования логарифмических уравнений. Одним из часто используемых способов равносильных преобразований уравнений яв% ляется замена переменной.

Напомним общий ориентир, которого мы придерживались при решении уравнений из других разделов: если в уравнение (неравенство или тождество)

переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Например, в уравнение lg2 x – 2 lg x – 3 = 0 переменная входит только в виде lg x, поэтому для его решения целесобразно применить замену lg x = t, получить квадратное уравнение t2 – 2t – 3 = 0, имеющее корни t1 = –1 и t2 = 3,

376

§33. Решение логарифмических уравнений и неравенств

азатем выполнить обратную замену и получить простейшие логарифмиче% ские уравнения: lg x = –1 и lg x = 3. Тогда, по определению логарифма, кор% нями данных уравнений являются x = 10–1 = 0,1 и x = 103 = 1000.

Принимая во внимание то, что замена переменной (вместе с обратной за% меной) является равносильным преобразованием уравнения на любом мно% жестве, для выполнения замены не обязательно находить ОДЗ данного урав% нения. После выполнения обратной замены мы получили простейшие лога% рифмические уравнения, ОДЗ которых (как было показано выше) учитыва% ются автоматически и могут также не записываться. Таким образом, в приве% денном решении ОДЗ данного уравнения учтена автоматически, и поэтому в явном виде ОДЗ можно не записывать в решение. Именно так и оформлено решение этого уравнения в пункте 4 таблицы 55.

Рассмотрим также равносильные преобразования уравнения вида

(Как уже говорилось, все равносильные преобразования уравнения выпол% няются на его области допустимых значений. Для уравнения (4) ОДЗ зада%

f (x) > 0,

ется системой неравенств g (x) > 0. Поскольку логарифмическая функ%

ция loga t возрастает (при a >1) или убывает (при 0 < a < 1) на всей своей области определения и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, то равенство (4) может выполняться (на ОДЗ) тогда и только тогда, когда f (x) = g (x). Учитывая ОДЗ, получаем, что уравнение

(4) равносильно системе

Символично полученный результат зафиксирован в пункте 4 таблицы 55, а коротко его можно сформулировать так:

чтобы решить уравнение loga f (x) = loga g (x) с помощью равносиль ных преобразований, учитываем ОДЗ этого уравнения и приравни ваем выражения, стоящие под знаками логарифмов. )

Пример использования этого ориентира приведен в таблице 55.

З а м е ч а н и е 1. Полученную систему (5)–(7) можно несколько упрос% тить. Если в этой системе выполняется равенство (5), то значения f (x) и g (x) между собой равны, поэтому, если одно из этих значений будет положитель% ным, то второе также будет положительным. Таким образом, уравнение (4) равносильно системе, состоящей из уравнения (5) и одного из неравенств (6) или (7) (обычно выбирают простейшее из этих неравенств).

377

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

Например, уравнение log3 (x2 – 2) = log3 (4x – 5), рассмотренное в табли%

x2 − 2 > 0,

ОДЗ этого уравнения: 4x − 5 > 0 мы не решали, а только проверяли, удов%

летворяют ли найденные корни этим ограничениям, то приведенное упроще% ние не дает существенного выигрыша при решении этого уравнения.

З а м е ч а н и е 2. Как было обосновано выше, если выполняется равен% ство (4), то обязательно выполняется и равенство (5). Таким образом, урав% нение (5) является следствием уравнения (4), и поэтому для нахождения кор% ней уравнения (4): loga f (x) = loga g (x) достаточно найти корни уравнения% следствия (5): f (x) = g (x) и выполнить проверку найденных корней подста% новкой в данное уравнение. (При таком способе решения ОДЗ уравнения (4) будет учтено опосредствованно, в момент проверки полученных корней, и его не придется явно записывать.)

Выполняя равносильные преобразования логарифмических уравнений в более сложных случаях, можно придерживаться следующего ориентира (он следует из определения равносильных уравнений и обоснован в § 17 раздела 2):

1)Учитываем ОДЗ данного уравнения.

2)Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.

каждое преобразование уравнения, все время следить за тем, можно ли на ОДЗ выполнить это преобразование и в обратном направлении. Если ответ положителен, то выполненные преобразования равносильны. Если же ка% кое%то преобразование для всех значений переменной из ОДЗ можно выпол% нить только в одном направлении (от исходного уравнения к следующему), а для его выполнения в обратном направлении необходимы какие%то допол% нительные ограничения, то мы получим только уравнение%следствие, и полу% ченные корни придется проверять подстановкой в исходное уравнение.

Применим этот план к решению уравнения (8).

Чтобы привести это уравнение к простейшему, перенесем все члены урав% нения с логарифмами влево. Получим равносильное уравнение

378

§ 33. Решение логарифмических уравнений и неравенств

(Равносильность уравнений (8) и (9) следует из известной теоремы: если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное данному на любом множестве. Равносильность этих уравнений следует также из того, что мы можем перей% ти не только от равенства (8) к равенству (9), но и выполнить обратное преоб% разование, пользуясь свойствами числовых равенств.)

Учитывая, что сумма логарифмов положительных (на ОДЗ) чисел равна логарифму произведения, получаем уравнение

На ОДЗ данного уравнения можно выполнить и обратное преобразование: поскольку x + 1 > 0 и x + 3 > 0, то логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. Таким образом, от равенства (10) можно вернуться к равенству (9), то есть этот переход также приводит к рав% носильному уравнению. Уравнение (10) — это простейшее логарифмическое уравнение. Оно равносильно уравнению, которое получается по определению логарифма:

(x + 1)(x + 3) = 23.

Выполняя равносильные преобразования полученного уравнения, имеем:

x2 + 4x – 5 = 0, x1 = 1, x2 = –5.

Поскольку все равносильные преобразования выполнялись на ОДЗ данно% го уравнения, учтем ее, подставляя полученные корни в ограничения ОДЗ:

x = 1 — корень, потому что удовлетворяет условиям ОДЗ;

х = –5 не является корнем (посторонний корень), потому что не удовлетво% ряет условиям ОДЗ. Таким образом, данное уравнение имеет только один ко% рень x = 1.

З а м е ч а н и е. Рассмотренное уравнение можно было решить и с исполь% зованием уравнений%следствий.

Примеры решения задач

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

380

§ 33. Решение логарифмических уравнений и неравенств

381